Випадкові величини та їх розподіл
Випадковою величиною називають таку величину, яка внаслідок експерименту може прийняти лише одне заздалегідь невідоме числове значення. Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.
Дискретна - випадкова величина, яка може приймати скінчену кількість значень (наприклад, кількість дітей, що народилися за добу). Типовими прикладами дискретних випадкових величин в медицині є результати клінічного дослідження пацієнта, коли фіксується наявність у пацієнта тих чи інших симптомів. Появу будь-якого симптому можна інтерпретувати як дискретну випадкову величину, яка приймає два можливих значення: "1" – якщо даний симптом спостерігається у пацієнта, і "0" – у протилежному випадку.
Неперервна – випадкова величина, яка може приймати будь-які числові значення в даному інтервалі значень (наприклад, маса тіла і вага новонароджених, значення концентрації амінокислот, органічних кислот при біохімічному обстеженні пацієнта). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.
На початку процедури аналізу випадкових даних виникає необхідність статистичного опису цих даних. Існують різні способи статистичного опису розподілу випадкових величин.
Закон розподілу випадкових величин – функціональна залежність між значеннями випадкових величин та ймовірностями з якими вони приймають ці значення. Закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, формули або графіка.
Функція розподілу – це функція F(x), яка задає ймовірність того, що випадкова величина Х у випробовуванні прийме значення менше х
F(x)=Р(Х<х).
Властивості функції розподілу:
1. 0 F(x)1;
2. F(x) - зростаюча функція, тобто якщо x2>x1, то F(x2)>F(x1), .
Функція розподілу неперервної випадкової величини F(x) є неспадною неперервною функцією, яка приймає значення від 0 до 1.. Для дискретних випадкових величин функція розподілу є розривною ступеневою функцією.
Рис.1. Функції розподілу неперервної і дискретної випадкових величин
Щільність розподілу для неперервної випадкової величини – це похідна від функції розподілу: f(x)=F/(x).
Числові характеристики випадкових величин
На практиці не завжди вдається одержати закон розподілу випадкової величини, тому що цей закон є надто складним для практичних розрахунків. Отож, з’явилася потреба характеризувати випадкову величину з допомогою таких числових характеристик: математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Математичним сподіванням MX випадкової величини X називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значень x на відповідні їм ймовірності, якщо X - дискретна випадкова величина:
,
Математичне сподівання MX випадкової величини X, якщо X - неперервна випадкова величина, має такий вигляд:
На практиці під математичним сподіванням розуміють центр розподілу випадкової величини.
Дисперсією DX дискретної випадкової величини X називається число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:
Дисперсію DX неперервної випадкової величини визначають так:
Дисперсія випадкової величини характеризує розсіювання можливих значень випадкової величини відносно центру розподілу. Дисперсія вимірюється у квадратних одиницях розмірності випадкової величини.
Середньоквадратичне відхилення σ випадкової величини X дорівнює квадратному кореню з дисперсії:
Середньоквадратичне відхилення має розмірність випадкової величини.