2. Плоскопараллельное движение (ппд) твёрдого тела

ППД называется такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости. Общая теория такого движения даётся во всех учебниках, рекомендованных в учебных планах по физике.

Здесь будет рассмотрен частный, но достаточно распространённый случай ППД - качение тел (колесо, цилиндр, шар) по плоскости без проскальзывания. В данном случае твердое тело участвует во вращательном и поступательном движении одновременно.

Решение задач

2.4. Точка A находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью . Найти:

а) модуль и направление скорости точки A;

б)* путь S, проходимый точкой A между двумя последовательными моментами её касания плоскости;

в) модуль и направление ускорения точки A.

Решение. а) Положение точки A на колесе зададим углом , образованным вертикалью BD и направлением на данную точку BA (рис.15).

I способ решения. Свяжем поступательно движущуюся со скоростью систему отсчёта с центром колеса - точкой C. Точка C движется относительно плоскости со скоростью (по условию задачи). Движение любой точки на ободе колеса является вращением относительно оси, проходящей через тоску C с некоторой угловой скоростью , и поступательным движением со скоростью . Поэтому скорость точки A, находящейся на ободе колеса, относительно плоскости равна

,

где – скорость точки, обусловленная вращением тела, направленная по касательной к окружности и равная . Сложение и изобразим векторно на рис.15. Такое сложение справедливо для любой точки, в том числе для точки B, в которой обод касается плоскости. Движение без проскальзывания означает, что скорость точки B равна нулю, следовательно, скорость равна по модулю скорости центра колеса

,

и параллелограмм на рис.15 является ромбом, а угол между векторами и равен (стороны этого угла перпендикулярны сторонам угла DCA. как центральный угол, опирающийся с вписанным углом на одну и ту же дугу окружности). Легко показать, что , поэтому

.

,

,

где .

II способ решения. Оказывается, задачу о нахождении скорости точки A, лежащей на ободе колеса, можно свести к её повороту вокруг оси, проходящей чрез точку касания B, с радиусом BA. При этом ось вращения имеет мгновенную скорость равную нулю и называется мгновенной осью вращения (эта ось перпендикулярна плоскости рисунка). Положение мгновенной оси меняется со временем как относительно плоскости, так и относительно обода колеса. В каждый момент времени мгновенная ось совпадает с линией касания колеса и плоскости. Эта ось перемещается по плоскости со скоростью . Положение точки A относительно точки B описывается мгновенным радиус-вектором (рис.16).

Тогда, общее выражение для скорости любой точки:

,

откуда

,

что совпадает с результатом решения I-м способом.

б) Траектория движения точки обода колеса между двумя последовательными ее касаниями плоскости представлена на рис.16, и является кривой, называемой циклоидой.

Путь, пройденный точкой, при ее движении из 2 в найдем из определения модуля скорости как

,

где .

Точка A вращается относительно оси, проходящей через точку C с угловой скоростью , следовательно:

,

,

.

в) Скорость любой точки, находящейся на ободе колеса относительно поверхности, по которой оно движется, представим, как и в I-м способе решения пункта а) в виде

.

Если скорость центра колеса - постоянна, то ускорение любой точки связано только с изменением вектора . Скорость - это скорость, обусловленная вращением точки вокруг оси, проходящей через точку C. Следовательно, ускорение любой точки - это нормальное (центростремительное) ускорение, величина которого определяется как

И при любом положении точки ускорение направлено к центру колеса.

2.5*. Шар радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением . Через время после начала движения его положение соответствует рис.17. Найти:

а) скорость точек A и B;

б) ускорение точек A и O.

Решение. а) Используя представление о мгновенной оси вращения, которая проходит через точку O, являющуюся точкой соприкосновения шара с горизонтальной плоскостью (рис.17), можно записать скорость точки A (см. предыдущую задачу) .

Так как шар катится без проскальзывания

,

поэтому .

Аналогично найдем скорость точки B

,

где , .

б) Скорость любой точки на ободе можно найти, как это было продемонстрировано выше, используя представление о мгновенной оси. Однако, ускорение таким способом найти невозможно, поскольку положение мгновенной оси меняется со временем как относительно плоскости, так и относительно обода колеса. Поэтому для нахождения ускорения вернемся к представлению движения шара как совокупности поступательного и вращательного движения. Тогда ускорение точки A

,

и ,

где - ускорение центра шара, которое по условию постоянно и равно . Ускорения и обусловлены вращением шара вокруг точки C и соответственно равны

и .

Тогда полное ускорение точки А равно (рис.18)

,

,

направление ускорения точки A показано на рис.18.

Рассмотрим точку O - точку соприкосновения шара с плоскостью (рис.19). Скорость этой точки равна нулю , то есть

.

Для этой точки (см. выше). Полное ускорение равно:

,

.

31