II. Кинематика твёрдого тела

Абсолютно твердым телом называется такая модель реального тела, для которого расстояние между любой парой точек тела не изменяется в процессе движения. Выделяют два простых вида движения твердого тела - поступательное и вращательное.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. При этом для описания поступательного движения твердого тела достаточно рассматривать движение некоторой одной точки тела, в качестве которой часто берут центр масс.

При вращательном движении твердого тела все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения (при этом скорости всех точек перпендикулярны оси вращения). Для характеристики вращательного движения вводятся понятия углового перемещения , угловой скорости и углового ускорения , связанных между собой так же, как и соответствующие им линейные величины , и (см. раздел I). Методы решения задач на вращательное движение твердого тела во многом совпадают с теми, что были рассмотрены для движения материальной точки.

Если тело одновременно участвует в двух вращательных движениях с угловыми скоростями и относительно двух пересекающихся осей, то результирующее движение будет также вращательным с угловой скоростью

.

Направления вектора угловой скорости и вращения тела связаны правилом правого винта.

В данном разделе будут рассмотрены:

1) поступательное движение твердого тела,

2) вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси,

3) плоскопараллельное движение (или плоское движение, которое является совокупностью первых двух видов движения).

1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Решение задач

2.1. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где - угол поворота, a и b - положительные постоянные. Найти:

а) среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки.

Решение. а) По определению угловая скорость

,

угловое ускорение

.

Средняя угловая скорость

,

где t₀ - время вращения тела до остановки, то есть при t = t₀ . Из уравнения зависимости угла поворота от времени следует, что при t = 0 , поэтому

.

По определению

Подставив в полученное уравнение , получим время остановки

.

Тогда угол поворота и среднее значение угловой скорости будут соответственно равны

,

.

Среднее угловое ускорение определяется как

,

где - угловая скорость в момент остановки, равная нулю, - угловая скорость в момент времени и равная . Следовательно

.

б) По определению поэтому угловое ускорение в момент остановки равно

.

Знак минус «–» в выражении для показывает, что угловое ускорение направлено в сторону, противоположную направлению угловой скорости, что означает, что движение тела равнозамедленное.

Рассмотрим движение твёрдого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей.

2.2. Твёрдое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг горизонтальной оси OA. В момент t = 0 ось OA начали поворачивать вокруг вертикали с угловой скоростью . Найти модули угловой скорости и углового ускорения тела.

Решение. Обозначим вертикальную ось OB и введем неподвижную относительно Земли систему отсчета . С вращающейся осью OA свяжем систему отсчета , так чтобы вертикальные оси систем и совпадали (рис.11). Ясно, что -система вращается с угловой скоростью относительно -системы. Согласно правилу сложения угловых скоростей угловая скорость тела в системе (рис.12):

.

Таким образом, результирующее движение твёрдого тела в -системе - вращение с угловой скоростью вокруг оси, совпадающей с вектором и проходящей через точку O. Эта ось поворачивается со скоростью вместе с осью OA вокруг оси OB. Из рис.12 следует, что величина угловой скорости равна

.

Найдём угловое ускорение тела, которое по определению равно

.

Второе слагаемое последнего выражения равно нулю , так как ось OA вращается вокруг вертикальной оси OB с постоянной угловой скоростью . Поэтому .

Угол между векторами и равен (рис.12) и, следовательно,

Рассмотрим задачу на преобразования скорости и ускорения.

2.3*. Горизонтально расположенный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей через один из концов стержня. По стержню движется небольшая муфта с постоянной относительно стрежня скоростью . Найти скорость и ускорение муфты относительно стола в зависимости от расстояния , характеризующего положение муфты от оси вращения.

Решение. Пусть ось, проходящая через точку O, неподвижна в системе , связанной со столом, а система , связанная со стержнем, вращается относительно с угловой скоростью (на рис.13 представлен вид сверху, значок показывает направление угловой скорости ). Тогда по правилу сложения скоростей

.

Направление вектора показано на рис.13, а его модуль равен . Из рисунка видно, что

.

Ускорение, согласно правилу сложения ускорений, равно

,

где - кориолисово ускорение, модуль которого, как видно из рис.13, равен ; - осестремительное ускорение; и - ускорения муфты в системе и соответственно. Поскольку по условию , значит

.

Сложение векторов показано на рис.14, на котором представлен вид сверху. Из рисунка видно, что ускорение муфты относительно стола равно

.