3. Естественный способ описания движения

Этот способ применяется в том случае, когда известна траектория движения. Положение точки определяется дуговой координатой l - длиной дуги траектории от выбранного начала отсчёта. В этом случае ускорение представляется как векторная сумма двух составляющих

,

где - тангенциальное ускорение, которое направлено по скорости (по касательной к траектории), - модуль скорости;

- нормальное ускорение, которое направлено перпендикулярно скорости к центру кривизны траектории, - радиус кривизны траектории.

Решение задач

1.9. Частица движется по окружности радиуса R. В момент t = 0 она находилась в точке 0, и далее скорость её меняется со временем как , где и - положительные постоянные. Найти:

а) зависимость дуговой координаты l от времени;

б) пройденный частицей путь к моменту, когда она снова окажется в точке O.

Решение. а) По определению , поэтому

.

б) Дуговая координата l может возрастать, уменьшаться, может быть больше нуля, может быть меньше нуля. Пройденный путь может только возрастать (рис.8).

Поскольку по условию тело возвращается в исходное положение, то существует точка A, где её скорость :

,

что соответствует моменту времени ( - время остановки).

Дуговая координата в этот момент будет определяться соотношением

.

При , частица начинает двигаться в обратном направлении, и дуговая координата начнёт уменьшаться. В точке O дуговая координата частицы равна нулю l = 0, а пройденный путь равен

.

1.10. Точка движется по окружности с модулем скорости , где . Найти её полное ускорение в момент, когда она пройдёт n-ую часть длины окружности после начала движения.

Решение. Полное ускорение точки при движении по окружности

,

где

и .

Найдем время движения

,

по условию S = 0 при t = 0, поэтому c = 0, а

,

откуда

.

Тогда скорость точки в этот момент времени равна

.

Подставив найденное значение скорости в исходное уравнение, получим

.

1.11. Точка движется по окружности радиуса R. Её скорость зависит от пройденного пути S по закону , где - постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.

Решение. Из рис.9 видно, что (рис.9). Найдем тангенциальную и нормальную составляющие ускорения, которые по определению равны и . Так как :

, .

Подставив найденные величины в исходную формулу, получим

,

и соответственно

.

Заканчивая этот раздел, рассмотрим задачу, в которой определяется радиус кривизны траектории. По определению , поэтому для нахождения радиуса кривизны необходимо найти и .

1.12. Шарик бросили под углом к горизонту со скоростью . Найти

а) максимальную высоту подъема шарика,

б) радиус кривизны в начале траектории и в её вершине.

Решение. а) Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости шарика . Ускорение шарика постоянно, направлено по вертикали вниз и равно . Выберем начало отсчета в точке бросания шарика, тогда в системе координат XY (рис.10)

, , ;

, , .

В верхней точке траектории и время подъема равно

.

Подставив время подъема в последнее уравнение, найдем максимальную высоту подъема шарика над Землей

.

б) Из рисунка видно, что в начальной точке траектории . По определению , поэтому

,

откуда радиус кривизны траектории в этой точке равен

.

В вершине траектории

, , ,

поэтому радиус кривизны в вершине траектории равен

.