2. Координатный способ описания движения

Само название этого способа описания движения говорит о том, что положение точки характеризуется тремя координатами

, , .

Зная зависимости этих координат от времени, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее скорость и ускорение, то есть решить прямую и обратную задачи кинематики, рассмотренные ранее.

Решение задач

1.5. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъёма постоянна и равна ₀. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости , где - постоянная, y - высота подъёма. Найти зависимость от времени:

а) координат шара x(t) и y(t);

б) скорость и ускорение шара;

в) уравнение траектории x(y).

Решение. а) Из условия задачи , поэтому

,

Из начальных условий при t = 0, следовательно, .

Тогда

.

По условию , поэтому

,

при t = 0, следовательно, , а

.

б) Выше были определены выражения для и .

Теперь определим проекции вектора ускорения на оси X и Y

, .

Обозначая орты осей X и Y через и соответственно, запишем выражения для векторов скорости и ускорения

,

.

Модули скорости и ускорения соответственно равны

,

.

г) Зная зависимости и (пункт а), исключим из них время и получим уравнение траектории шара

.

График функции x(y) схематично представлен на рис.4.

1.6*. Точка движется в плоскости XY по закону ; , где и - положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки y(x);

б) скорость и ускорение точки, а также их модули в зависимости от t;

в) момент времени t₀, когда угол между скоростью и ускорением равен .

Решение. а) По условию

,

.

Выразив из первого уравнения время и подставив его во второе уравнение, получим уравнение траектории точки

.

Полученное уравнение является уравнением параболы, обращённой ветвями вниз, так как коэффициент при x² меньше нуля. График параболы представлен на рис.5.

б) Найдем проекции вектора ускорения на оси X и Y

, ;

, .

Обозначая орты осей X и Y через и соответственно, запишем выражения для векторов скорости и ускорения

,

.

Модули скорости и ускорения соответственно равны

,

.

в) Покажем на рисунке направления векторов и (рис.5). Для решения задачи удобно воспользоваться способом нахождения угла между скоростью и ускорением, рассмотренным в задаче 1.4. Согласно результату этой задачи

.

Из рисунка видно, что угол между скоростью и ускорением, может быть равен , только для точек параболы, координаты x которых, лежат правее ее вершины. Координату вершины параболы найдем из условия :

, откуда .

Согласно рисунку в области проекция скорости на ось Y отрицательна , поэтому

.

По условию угол , поэтому, подставив в последнее выражение , получим искомое время

.

1.7. Точка движется в плоскости XY по закону , , где A и – положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории;

б) Скорость, ускорение и их модули в зависимости от времени;

в) путь S, проходимой точки за время .

Решение. а) Чтобы найти уравнение траектории, исключим время t из исходных уравнений x(t) и y(t):

,

.

,.

Уравнение траектории представляет собой окружность, центр которой имеет координаты (0,A). График функции y(x) в плоскости XY схематично изображен на рис.6.

б) Найдем проекции вектора ускорения на оси X и Y

, .

, .

Запишем выражения для векторов скорости и ускорения

,

.

Тогда модули скорости и ускорения будут соответственно равны

– const,

– const.

Согласно полученным результатам, модули скорости и ускорения постоянны. Это значит, что точка движется по окружности с постоянной скоростью, а ускорение является центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.

в) Путь, пройденный телом, определяется из определения модуля скорости как

.

Итак, зная зависимость координат точки от времени, можно найти её скорость и ускорение. Эту же информацию можно получить, если известна траектория движения точки. Рассмотрим это на примере следующей задачи.

1.8. Частица движется с постоянной по модулю скоростью по плоской траектории , где . Найти скорость и ускорение частицы в точке x = 0.

Решение. Траектория движения частицы - парабола с вершиной в начале координат (рис.7).

Продифференцировав уравнение по времени, получим:

или ,

т.е. при x = 0.

Продифференцировав по времени , найдем проекцию вектора ускорения на ось Y

,

но , значит . Поэтому

.

Окончательно при x = 0:

, ;

, .

.