4. Бинарные отношения в теории графов.

Определение.

Бинарное отношение определяется как соотношение , которое выполняется для некоторых пар элементов заданного множества V.

Между бинарными отношениями и графами с однократными рёбрами существует взаимно однозначное соответствие.

Так, например. Нуль — граф отвечает нулевому отношению . Полный граф отвечает универсальному отношению .

Каждое отношение имеет дополнительное отношение, или отрицание , такое что тогда и только тогда, когда не выполняется.

Определение.

Граф является дополнением к Графу , то есть по отношению к полному графу , определённому на V.

Определение.

Для любого отношения существует обратное отношение , такое что тогда и только тогда, когда выполняется .

Определение.

Отношение называется частичным упорядочением, если оно обладает следующими свойствами:

1. Рефлексивность .

2. Транзитивность. Из и , следует .

3. Антисимметричность. Из и следует .

Соответствующий граф транзитивен, имеет петли, и любые две вершины в нём соединены не более чем одним ребром.

Например:

5. Матрицы смежности и инцидентности.

Во многих задачах теории графов (особенно решаемых на ЭВМ) графы удобно описывать матрицами.

Определение.

Пусть — помеченный конечный граф с вершинами и дугами (дуги тоже занумерованы).

Матрицей смежности графа называется матрица размера , определённая следующим образом:

Определение.

Матрицей инцидентности графа называется матрица размера , определённая следующим образом:

В случае неориентированного графа матрица определяется следующим:

Пример.

Неориентированные и ориентированные графы и можно представить в аналитической форме, либо матрицей смежности , либо матрицей инцидентности .

Матрица смежности () для неориентированного графа () всегда симметрична.

Фигурирующая в ней двойка (2) или любое другое обозначение в некоторых случаях может быть заменена на единицу(1).

В матрице инцидентности сумма единиц по столбцам указывает степень вершины .

В общем случае матрица смежности для ориентированного графа уже не будет симметричной.

В матрице инцидентности ставится 1, если дуга исходит из вершины и , если дуга заходит в неё.

Иногда, особенно графов с большим количеством вершин и дуг, вместо матриц смежности и инцидентности используются списковые структуры хранения элементов на их основе.

6. Маршруты, цепи и простые цепи.

Определение.

Маршрутом в графе называется такая конечная или бесконечная последовательность рёбер , что каждые два соседних ребра и имеют общую концевую точку. То есть .

Замечания.

1. Одно и тоже ребро может встречаться в маршруте несколько раз.

2. Если нет рёбер, предшествующих , то называется начальной вершиной , а если нет рёбер, следующих за , то называется конечной вершиной .

3. Любая вершина , принадлежащая двум соседним рёбрам и , называется внутренней или промежуточной вершиной. Так как рёбра и вершины в маршруте могут повторяться, внутренняя вершина может также оказаться начальной или конечной вершиной.

Определение.

Если маршрут имеет начальную вершину, но не имеет конечной вершины или если он имеет конечную вершину, но не имеет начальной, то он называется односторонне бесконечным.

Определение.

Если маршрут не имеет ни начальной, ни конечной вершины, то он называется двусторонне-бесконечным.

Определение.

Маршрут называется цепью, а циклический маршрут — циклом, если каждое его ребро встречается в нём не более одного раза, а вершины в цепи могут повторяться и несколько раз.

Любой участок цепи есть цепь.

Определение.

Нециклическая цепь называется простой цепью, если в ней нет повторяющихся вершин.

Определение.

Цикл с концом называется простым циклом, если не является в нём промежуточной вершиной и никакие другие вершины не повторяются.

Участок простой цепи или простого цикла есть простая цепь.

7. Граф достижимости

Один из первых вопросов, возникающих при изучении графов, это вопрос о существовании путей между заданными или всеми парами вершин.

Определение

Отношение достижимости на вершинах графа  означает, что вершина w достижима из вершины v, если v = w или вG есть путь из v в w.

Иначе говоря, отношение достижимости является рефлексивным и транзитивным замыканием отношения E.

Для неориентированных графов это отношение также симметрично и, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве вершин V.

Определение

В неориентированном графе классы эквивалентности по отношению достижимости называются связными компонентами.

Для ориентированных графов достижимость, вообще говоря, не должна быть симметричным отношением. Симметричной является взаимная достижимость.

Определение

Вершины v и w ориентированного графа G=(V,E) называются взаимно достижимыми, если в G есть путь из v в w и путь из w в v.

Ясно, что отношение взаимной достижимости является рефлексивным, симметричным и транзитивным и, следовательно, эквивалентностью на на множестве вершин графа.

Классы эквивалентности по отношению взаимной достижимости называются компонентами сильной связности или двусвязными компонентами графа.

Рассмотрим вначале вопрос о построении отношения достижимости. Определим для каждого графа его граф достижимости ( называемый иногда также графом транзитивного замыкания), ребра которого соответствуют путям исходного графа.