
- •Русаков Алексей Михайлович
- •Лекции по дисциплине «Дискретная математика»
- •Введение.
- •Теория множеств.
- •Понятие множества. Операции над множествами.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Пример.
- •Свойства операций сложения и пересечения множеств.
- •Определение.
- •Замечание.
- •Примеры.
- •Счётные множества. Теорема Кантора.
- •Определение.
- •Примеры счётных множеств.
- •Замечания.
- •Теорема.
- •Доказательство:
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Решите задачи № 1.30 1.39 с использованием диаграммы Эйлера-Венна.
- •Бинарные отношения в теории графов.
- •Например:
- •Матрицы смежности и инцидентности.
- •Пример.
- •Маршруты, цепи и простые цепи.
- •Определение
- •Расстояние и протяжённость в графе.
- •Деревья.
- •Примеры:
- •Например:
- •Помеченные графы. Перечисление помеченных деревьев.
- •Пример:
- •Теорема Келли.
- •Задача о кратчайшем соединении.
- •Задача о кратчайших путях.
- •Эйлеровы цепи, критерий Эйлеровости. Задача о Кёнигсбергских мостах.
- •Доказательство:
- •Достаточность.
- •Индуктивный переход.
- •Гамильтовы циклы.
- •Пример:
- •Примеры задач и упражнений.
- •Решение.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение группы.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение и способы описания формальных грамматик.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Теория автоматов.
- •Основные понятия теории автоматов.
- •Определение.
- •Способы задания автоматов. Таблица переходов.
- •Определение.
- •Определение.
- •Способы задания автоматов. Граф автомата.
- •Определение.
- •Способы задания автоматов. Матрица переходов и выходов. Определение.
- •Машины Тьюринга и конечные автоматы. Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Машины Тьюринга с двумя выходами.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Автоматы с магазинной памятью и бесконтекстные языки.
- •Определение.
- •Определение.
- •Модель дискретного преобразователя Глушкова в. М. Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Понятие об абстрактном автомате и индуцируемом им отображении. Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Автоматные отображения и события. Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Теорема.
- •Регулярные языки и конечные автоматы. Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Определение.
- •Правила подчинения мест в регулярных выражениях.
- •Определение.
- •Определение.
- •Правила построения основного алгоритма синтеза конечных автоматов.
- •Пример.
- •Автомат Мили.
- •Определение.
- •Определение.
- •Автомат Мура.
- •Определение.
- •Определение.
- •Теория булевых функций.
- •Связь булевых функций и схем из функциональных элементов и контактных схем. Определение.
- •Замечания.
- •Теорема.
- •Доказательство:
- •Замечание.
- •Теорема. (Формулы разложения Клода Шеннона.)
- •Доказательство:
- •Замечания.
- •Основные свойства булевых функций. Замечание.
- •Определение.
- •Примеры задач и упражнений. Пример 1
- •Доказательство
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Элементы комбинаторики.
- •Основные понятия комбинаторики. Определение.
- •Определение.
- •Доказательство.
- •Теорема – правило включения-исключения.
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •8.2. Формулировка задания.
- •Определение.
- •Пример.
- •Переходы можно представить также с помощью таблицы и схематически:
- •Определение.
- •Последовательность выполнения.
- •Методический пример.
- •Контрольная распечатка.
- •Замечания.
- •Отчет по практической работе.
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий.
- •Домашняя работа №1. По всей теории
- •Домашняя работа №2. Способы задания графов
- •8.03.2. Правила регулярного выражения.
- •Установка необходимого программного обеспечения.
- •Замечания.
- •Методический пример.
- •Контрольная распечатка.
- •Отчет по практической работе.
- •Контрольные вопросы.
- •Варианты заданий.
- •Дополнительные материалы.
- •Биография Георга Кантора (основатель теории множеств).
- •Город Калининград (Кёнигсберг).
- •Список литературы.
-
Задачи для самостоятельного решения.
№ 1.1. Пусть А={{1,2,3}, {1,3}, 1, 2}. Верно ли, что {1, 2}А?
{1, 2}A?
№ 1.2. Перечислить элементы множества
,
n=1, 2,…}.
№1.3. Перечислить элементы следующих множеств:
№ 1.4. Перечислите все элементы множества
№1.5.
Пусть А – произвольное множество. Что
представляют собой следующие множества:
№ 1.6.
Множество А состоит из натуральных
чисел, делящихся на 4, множество В – из
натуральных чисел, делящихся на 10,
множество С – из натуральных чисел,
делящихся на 75. Из каких чисел состоит
множество
№ 1.7. Даны произвольные множества А, В, С такие, что:
и
и
Чему равно
№ 1.8.
Даны произвольные множества А, В и С
такие, что
.
Чему равно
№ 1.9. Даны множества:
а). А={h,o,t} и B={t,o,o,t,h};
б). A={r,e,s,t} и В={s,t,r,e,e,t}.
Верно ли, что
№ 1.10.
Известно, что а).
б).
.
Каковы следствия из этих уравнений?
№ 1.11.
Задано, что S={a1, a2, a3},
причем известно, что
,
A={a1, a2};
,
B={a2, a3};
;
C={a2}. Найти элементы следующих
множеств:
№ 1.12. Пусть I={1,2,3,4,5}, X={1,5}, Y={1,2,4}, Z={2,5}.
Найти множества:
а)
;
б)
в)
;
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
№ 1.13. Пусть I={a,b,c,d,e,f}, A={a,b,c}, B={f,e,c,a}, C={d,e,f}.
Найти множества:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
№ 1.14.
Даны два произвольных множества А и В
такие, что
Что представляют собой множества
и
№ 1.15.
Даны два произвольных множества С и D
такие, что
Что можно сказать о множествах
и
№ 1.16.
Дано произвольное множество Х. Найти
множества:
б)
в)
г)
.
№ 1.17. Какие из следующих утверждений справедливы:
а)
б)
в)
г)
д)
№ 1.18. Сформулируйте следующее утверждение на языке множеств: даны множества А, В и С; определить множество, включающее в себя только два из этих множеств.
№ 1.19. Решите предыдущую задачу при условии, что множества А, В и С взаимно не пересекаются.
№ 1.20. Даны множества V, W, Y, X и Z. Определить множество, включающее по крайней мере два из множеств V, W, X и Y и не включающее Z.
№ 1.21. Упростить выражения:
.
№ 1.22. Доказать тождества, используя законы алгебры множеств:
№ 1.23. Для произвольных множеств А, В, С, D I построить диаграммы Эйлера-Венна при условии:
.
№1.24. С помощью диаграмм Эйлера-Венна установить справедливость каждого из следующих утверждений относительно произвольных множеств А, В, С I:
если
и
,
то
если
и
то
№ 1.25.
показать с помощью диаграмм Эйлера
Венна, какое из двух множеств
и
является подмножеством другого.
№ 1.26. Как можно представить следующие множества, используя диаграммы Эйлера-Венна:
{A, {A}}, {{a}, {b}}, {X, Y, Z},
где Х={x|х=1 или (х-2)Х},
Y={х|х=3 или (х-3)Y},
Z={x|x=2 или (х-2)Z}?
№ 1.27. Пусть даны множества А, В и С. С ВДоказать, что:
а)
б)
в)
г)
;
д)
№ 1.28.
Доказать, что если
то
.
№ 1.29.
Доказать, что