Определение

Пусть G=(V,E) -- ориентированный граф. Граф достижимости G^*=(V,E^*) для G имеет то же множество вершин V и следующее множество ребер E^* ={ (u, v) | в графе G вершина v достижима из вершины u}.

Пример

Граф G

Тогда можно проверить, что граф достижимости G* для G выглядит так (новые ребра -петли при каждой из вершин 1-5 не показаны):

Граф G*

Каким образом по графу G можно построить граф G^*? Один способ заключается в том, чтобы для каждой вершины графа G определить множество достижимых из нее вершин, последовательно добавляя в него вершины, достижимые из нее путям и длины 0, 1, 2 и т.д.

Мы рассмотрим другой способ, основанный на использовании матрицы смежности A_G графа G и булевых операций. Пусть множество вершин V={v₁, ... , v_n}. Тогда матрица A_G - это булева матрица размера n x n.

Ниже для сохранения сходства с обычными операциями над матрицами мы будем использовать "арифметические" обозначения для булевых операций: через + будем обозначать дизъюнкцию  а через x - конъюнкцию .

Обозначим через E_n единичную матрицу размера . Положим . Пусть . Наша процедура построения G^* основана на следующем утверждении.

Лемма. Пусть . Тогда

в из в имеется путь длины

Доказательство проведем индукцией по k.

Базис. При k=0 и k=1 утверждение справедливо по определению  и .

Индукционный шаг. Пусть лемма справедлива для k. Покажем, что она остается справедливой и для k+1. По определению  имеем:

Предположим, что в графе G из v_i в v_j имеется путь длины <= k+1. Рассмотрим кратчайший из таких путей. Если его длина <= k, то по предположению индукции . Кроме того, a_jj⁽¹⁾=1. Поэтому a_ij^(k) a_jj⁽¹⁾=1 и a_ij^(k+1)=1. Если длина кратчайшего пути из из v_i в v_j равна k+1, то пусть v_r - его предпоследняя вершина. Тогда из v_i в v_r имеется путь длины k и по предположению индукции a_ir^(k)=1. Так как , то . Поэтому a_ir^(k) a_rj⁽¹⁾=1 и a_ij^(k+1)=1.

Материал в разработке, обновите версию с сайта.

8. Расстояние и протяжённость в графе.

Определение.

Пусть — связный неориентированный граф. Так как любые две вершины и связаны, существуют простые цепи с концами и . Длины этих простых цепей являются неотрицательными числами. Следовательно, между и должны существовать цепи наименьшей длины. Эта наименьшая длина называется расстоянием между и .

Положим по определению .

Легко видеть, что эта описывающая расстояние функция удовлетворяет аксиомам метрики:

1. 

2. 

3. 

4. Неравенство треугольника

Теорема.

Пусть связный граф, имеющий не более чем счётные локальные степени. Тогда имеет не более чем счётное число вершин и рёбер.

Теорема.

Пусть – бесконечный локально конечный связный граф. Тогда из каждой вершины выходит бесконечная простая цепь.

Определение.

Для конечных связных графов можно также ввести протяжённость между двумя вершинами и как длину самой длинной связывающей их простой цепи. Очевидно удовлетворяет аксиомам метрики.

Существуют диаметральные по протяжённости или длиннейшие простые цепи, их длина называется диаметром протяжённости.

Определение.

Для каждой вершины существуют наиболее длинные простые цепи, имеющие своим концом, их длина

называется числом протяжённости для вершины .

Определение.

Центрами протяжённости называются вершины с минимальным числом протяжённости.

.

Соответствующие наиболее длинные простые цепи от этих центров можно назвать радиальными по протяжённости простыми цепями, а их длину — радиусом протяжённости.

Теорема.

Любые две длиннейшие простые цепи имеют общие вершины.

Теорема.

Число протяжённости удовлетворяет неравенству или соответственно для чётного и нечётного .

Равенство может здесь достигаться только тогда, когда расположено на каждой длиннейшей простой цепи.

Теорема.

Если – простая цепь из вершины , которую нельзя продолжить за , то лежит на простом цикле, длина которого не меньше чем .