Приложение 4

Таблица преобразований Лапласа

№	F(p)	f(t)
1	l	δ(t)
2	1/p	l
3
4
5		t
6		sin at
7		sh at
8
9
10		teat
11
12
13
14

Приложение 5

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Обращение к цифровым методам обработки сигналов и ЭЦВМ для производства различных вычислений требует дискретизации не только во временной области, но и в частотной. По аналогии с преобразованием Фурье (интегральным) применительно к дискретным функциям разработан математический аппарат (алгоритм), называемый дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), который позволяет получить спектр дискретизированного сигнала x_T(t) непосредственно по временным выборкам x(nT) = x_n исходного непрерывного сигнала x(t). ДПФ формирует спектр дискретизированного сигнала x_T(t) не в аналоговой (непрерывной) форме, как , а в дискретной. Он представляет собой совокупность дискретных величин на частотах ω = kΩ. Эти компоненты дискретного спектра , найденные с помощью ДПФ, совпадают с соответствующими выборками непрерывной функции = в точках отсчета ω = kΩ; их называют частотными выборками.

Составим алгоритм ДПФ и ОДПФ (обратное дискретное преобразование Фурье) и найдем условия выбора интервала дискретизации Ω по частоте, а также дадим некоторые рекомендации по подготовке материалов к применению ЭЦВМ для производства вычислений.

Пусть некоторая непрерывная функция времени x(t) дискретизирована

(1)

и ограничена последовательностью из N отсчетов для 0 ≤ n ≤ N-1, где Т – интервал дискретизации по времени. Дискретный сигнал с ограниченным числом отсчетов (рис.1,а), т.е. конечной длины NT, описывается соответственно конечной суммой

. (2)

Преобразование Фурье (спектральная функция) такого сигнала

(3)

является функцией непрерывной и периодической с периодом .

Всякая непрерывная функция S_T(ω) может быть дискретизирована (по частоте, рис.1,б) подобно дискретизации непрерывной функции x(t) по времени. Для функции (сигнала) x(t) с ограниченным спектром (|ω| ≤ ω_в) интервал дискретизации по времени Т находится из условия

≥ 2ω_в или , (4)

где Δω = 2ω_в – полная ширина спектра исходного непрерывного сигнала x(t), другими словами, протяженность (длина) спектральной функции . Можно сказать, что условия дискретизации x(t) по времени определяются ее показателями в частотной области, по ее преобразованию Фурье F{x(t)}.

Рис. 1

Следуя этому заключению, основанному на дуальности преобразования Фурье относительно ω и t, можно сделать вывод, что интервал дискретизации Ω функции по частоте будет определяться протяженностью сигнала во времени (длиной последовательности) T_c= NT. Отсюда, пользуясь формулой (4), можем записать соотношение для определения интеграла дискретизации по частоте

. (5)

Относительно числа отсчетов в частотной области можно утвержать следующее. Дискретизируемая функция - периодическая с периодом , а следовательно, и частотные выборки будут повторяться с периодом . Поэтому достаточно рассмотреть на периоде конечное число отсчетов. Оно составит

. (6)

Таким образом, если в дискретизированном по времени сигнале x_T(t) N отсчетов, то ровно такое же число отсчетов приходится на период функции , т.е. ее период в N отсчетов и равен NΩ.

Интервал дискретизации Ω функции может быть найден также из представления дискретной функции конечной длины x(nT), 0 ≤ n ≤ N-1 дискретным рядом Фурье. Действительно, если предположить, что дискретная функция x_T(t) (2) конечной длины в N отсчетов является периодической с периодом N(NT), то она может быть представлена дискретным рядом Фурье, т.е. суммой дискретных составляющих (экспоненциальных или косинусоидальных и синусоидальных) с частотами, кратными основной частоте периодической последовательности.

Амплитуды этих составляющих определяются дискретными значениями (частотными выборками) спектральной функции , найденной по сигналу на периоде, т.е. x(nT), 0 ≤ n ≤ N-1. В отличие от ряда Фурье непрерывных периодических процессов дискретный ряд Фурье содержит конечное число экспоненциальных составляющих поскольку функция периодична с периодом N. Следовательно, множество комплексных экспонент с k = 0, 1, 2, … N-1 определяет все различные комплексные экспоненты с частотами, кратными .

Теперь, заменяя в преобразовании Фурье (формула 3) текущее значение частоты ω дискретными значениями kΩ, может записать соотношение для определения частотных выборок

= , (7)

где k = 0, 1, 2, … N-1.

Это соотношение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) функции x(nT).

Для функций нормированного аргумента x(nT)→ x(n), → формула (7) запишется так:

= , (8)

где k = 0, 1, 2, … N-1.

ДПФ может давать отсчеты для k вне интервала 0 ≤ k ≤ N –1, но эти отсчеты будут простым повторением для k, взятых внутри этого интервала, что подтверждает непериодический характер функции . Ее период составляет N отсчетов.

Подобно краткой записи преобразования Фурье используется краткая запись дискретного преобразования Фурье

ДПФ{x(nT)}= ; ДПФ{x(n)}= .

Существует обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), которое переводит ДПФ в последовательность (решетчатую функцию) x(nT), из которой оно было вычислено. Обратное дискретное преобразование Фурье запишется так:

, (9)

где n = 0, 1, 2, … N-1;

либо в форме, подобной (8),

, (10)

где n = 0, 1, 2, … N-1.

ОДПФ подобно ДПФ может давать повторяющиеся отсчеты x(nT) для n вне интервала 0 ≤ n ≤ N –1. Ее период также в N отсчетов.

Отметим некоторые свойства ДПФ, играющие важную роль в его практическом применении. Они подобны свойствам преобразования Фурье (теорема о спектрах), рассмотренным выше.

1. Дискретное преобразование Фурье линейно

. (11)

2. Теорема о сдвиге

(12)

Сдвиг дискретной функции (последовательности) на целое (m) число отсчетов приводит к изменениям только фазочастотного спектра.

3. Теорема о свертке

. (13)

ДПФ свертки последовательностей x₁(nT), x₂(nT) равно произведению ДПФ этих последовательностей.