Цель работы

В результате выполнения курсовой работы студент должен:

- глубоко изучить физические процессы в линейных цепях в переходном и установившемся режимах;

- приобрести навыки применения основных методов анализа преобразования сигналов линейными цепями;

- приобрести навыки применения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) в инженерных расчетах.

Содержание работы

Применительно к курсовой работе задача анализа формулируется следующим образом: известны схема исследуемой цепи и входной сигнал u₁(t), требуется определить выходной сигнал u₂(t) и проанализировать зависимость его формы от параметров цепи.

Задачу анализа необходимо решить несколькими методами: операционным методом, методом интеграла Дюамеля (или интеграла свертки) и частотным методом. В выводах по курсовой работе необходимо дать качественное сравнение результатов, полученных при использовании каждого из перечисленных методов.

При расчете выходного сигнала операционным методом необходимо проделать следующее:

1) записать аналитическое выражение для заданного входного сигнала u₁(t) и найти его изображение по Лапласу u₁(P);

2) записать аналитическое выражение передаточной функции цепи К(р);

3) определить изображение u₂(P) выходного сигнала и найти аналитическое выражение оригинала u₂(t);

4) построить временные диаграммы выходного сигнала u₂(t) для трех значений одного из параметров цепи (изменяемый параметр указан в индивидуальном задании).

При расчете выходного сигнала u₂(t) методом интеграла Дюамеля необходимо проделать следующее:

1) записать аналитическое выражение для заданного входного сигнала u₁(t);

2) определить временные характеристики цепи: переходную h(t) и импульсную h_δ(t);

3) рассчитать и построить графики временных характеристик цепи h(t) и h_δ(t) для трех значений изменяемого параметра;

4) методом интеграла Дюамеля определить выходной сигнал (реакцию цепи) u₂(t);

5) построить временные диаграммы сигнала u₂(t) для трех значений изменяемого параметра цепи.

При расчете выходного сигнала частотным методом необходимо проделать следующее:

1) найти спектральную функцию заданного входного сигнала u₁(t), его амплитудно-частотный (АЧС) и фазо-частотный (ФЧС) спектры;

2) определить комплексную частотную характеристику цепи K(jω), найти выражения ее амплитудно-частотной (АЧХ) K(ω) и фазо-частотной (ФЧХ) φ(ω) характеристик;

3) построить графики АЧС и ФЧС сигнала u₁(t), а также АЧХ и ФЧХ цепи для трех значений изменяемого параметра;

4) записать аналитическое выражение спектральной функции выходного сигнала и с помощью обратного ДПФ рассчитать сигнал u₂(t);

5) построить временные диаграммы сигнала для трех значений изменяемого параметра цепи.

Исходные данные

Исходными данными для выполнения курсовой работы являются:

- схема линейной цепи и ее параметры;

- тип входного сигнала u₁(t) и его параметры.

Схемы линейных цепей и типы входных сигналов, используемые в курсовой работе, а также значения их параметров приведены в приложениях 1, 2, 3.

Порядок выбора схемы цепи, типа входного сигнала и их параметров определяет преподаватель.

Методические указания

Электрические процессы, протекающие в линейной цепи с постоянными параметрами при воздействии на ее вход сигнала x(t), описываются обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(1)

По существу, задача анализа сводится к решению дифференциального уравнения (1) при начальных условиях y(0), y'(0), y"(0), … ,y^(n-1)(0) и известном входном воздействии x(t).

Нахождение реакции y(t) непосредственным решением дифференциального уравнения согласно формуле (1) (классический метод анализа) для цепей второго и более высокого порядка и входном воздействии сложной формы связано с громоздкими преобразованиями. Поэтому для инженерных расчетов чаще используют менее трудоемкие методы анализа основанные на свойствах преобразования Лапласа (операционный метод) и свойстве суперпозиции линейных цепей (метод интеграла Дюамеля и частотный метод), а также методы вычисления реакции цепи, основанные на цифровой обработке сигналов.

Ниже приводятся основные теоретические сведения и методические указания, соответствующие пунктам содержания задания.

Применение преобразования Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (формула 1) при нулевых начальных условиях приводит к алгебраическому уравнению

, (2)

связывающему изображению по Лапласу входного сигнала

и реакции .

При этом преобразование Лапласа определяется соотношением

. (3)

Здесь

L – оператор Лапласа,

р = σ + jω – комплексная величина, имеющая размерность, обратную размерности времени.

Решение уравнения (2) относительно изображения реакции y(p) можно записать в виде

y(p) = К(р) x(p), (4)

где

- передаточная функция линейной цепи.

Искомая реакция у(t)(оригинал) может быть найдена по изображению y(p) с помощью обратного преобразования Лапласа

. (5)

Порядок определения (расчета) реакции линейных цепей операционным методом должен быть следующим.

1. Найдем изображение x(p входного сигнала x(t). Для этого изобразим его временную диаграмму и представим его как сумму более простых сигналов.

Например, пусть на входе цепи действует импульс напряжения u₁(t) = x(t) треугольной формы (рис.1). Его можно получить как результат сложения трех неограниченных справа функций (рис.2):

u₁(t) = u₁₁(t) + u₁₂(t) + u₁₃(t),

где

u₁₁(t) =;

u₁₂(t) =;

u₁₃(t) = .

Используя таблицу преобразования Лапласа, свойство линейности оператора L

(6)

и теорему запаздывания

, (7)

найдем

, (8)

где

;

;

.

2. Передаточную функцию цепи можно найти через операционные сопротивления (проводимости) ветвей с помощью законов Ома и Кирхгофа в операционной форме, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. При этом каждую из приведенных в приложении 1 схем удобно представить в обобщенном виде, как показано на рис.3. При записи аналитического выражения для К(р) целесообразно ввести обозначения L/R = Θ или RC = Θ, где Θ – величина, имеющая размерность времени (с).

Отсюда следует, что передаточная функция любой из приведенных в задании цепей может быть найдена по формуле

, (9)

где Z_i = Z(p) – операционное сопротивление i-ой ветви.

3. Изображение выходного сигнала u₂(p) находится как произведение изображения входного сигнала (формула 8) на передаточную функцию цепи (формула 9):

, (10)

где

; ; - изображения реакций цепи на составляющие входного сигнала.

Аналитическое выражение выходного сигнала, при этом, удобно найти как сумму сигналов

, (11)

где

Для нахождения обратного преобразования Лапласа от выражения (10) можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа для рациональных функций (Приложение 4), или формулами разложения.

При нахождении обратного преобразования Лапласа важно помнить, что умножение изображения на e^-pto соответствует запаздыванию оригинала на время t₀.

4. Расчет и построение временных диаграмм реакции y(t) рекомендуется провести для интеграла времени 0 ≤ t ≤ t_u + 3Θ c шагом Δt ≤ 0,1t_u для трех значений изменяемого параметра цепи: для заданного значения параметра, а также при увеличении и уменьшении его в два раза.

Если переходные процессы в цепи к моменту времени t = t_u + 3Θ не закончились, то интервал времени, на котором рассчитывается реакция цепи следует увеличить.

Вместо (формула 4) можно записать:

. (12)

После формальных преобразований получим

(13)

или

, (14)

где , знак "" символизирует операцию свертки двух функций

. (15)

Так как функции x₁(t) и x₂(t) равны нулю при отрицательных значениях аргумента, то пределы интегрирования в формуле 15 можно заменить на (0…t), т.е.

(16)

Учитывая, что , , а также формулу (16) и фильтрующее свойство δ-функции, вместо формул (12)…(14) можно записать:

, (17)

, (18)

. (19)

Здесь

, (20)

(21)

- импульсная и переходная характеристики линейной цепи соответственно.

Формулы (17)…(19) представляют собой различные формы записи интеграла свертки (интеграла Дюамеля) для импульсной и переходной характеристик цепи.

Рассмотрим методику анализа линейных цепей методом интеграла Дюамеля.

1. Входной сигнал u₁(t) при анализе линейной цепи методом интеграла Дюамеля удобно представить суммой более простых сигналов так же, как это было сделано ранее:

u₁(t) = u₁₁(t) + u₁₂(t) + u₁₃(t).

2. Для определения временных характеристик цепи следует воспользоваться уже полученной передаточной функцией К(р), и формулами (20), (21), а также изложенными ранее рекомендациями по вычислению обратного преобразования Лапласа.

3. Расчет и построение графиков функций h_δ(t) и h(t) рекомендуется провести для интеграла времени 0 ≤ t ≤ (3…5)Θ с шагом Δt ≤ 0,1Θ для трех значений изменяемого параметра цепи: для заданного значения параметра, а также при увеличении и уменьшении его в два раза.

4. Выходной сигнал u₂(t) можно представить как сумму частных реакций цепи на составляющие входного сигнала:

u₂(t) = u₂₁(t) + u₂₂(t) + u₂₃(t),

где u₂₁(t), u₂₂(t) и u₂₃(t) – реакции цепи на сигналы u₁₁(t), u₁₂(t) и u₁₃(t) соответственно.

При определении частных реакций цепи необходимо использовать свойства линейных преобразований сигнала. Так, например, если получена реакция цепи x₂(t) на сигнал x₁(t), то реакция цепи на аналогичный, но запаздывающий во времени сигнал x₁(t – t₀), можно получить путем сдвига на t₀ реакции x₂(t), т.е. записать x₂(t – t₀).

Реакция цепи на ступенчатый сигнал x₁(t) = Ul(t) находится непосредственно по переходной характеристике цепи:

x₂(t) = Uh(t).

При суммировании частных реакций следует обратить особое внимание на правильную запись реакции u₂(t) на входной видеоимпульс. При этом следует учитывать, что реакция цепи на соответствующую составляющую сигнала не может возникнуть раньше, чем к цепи будет приложена эта составляющая.

5. Расчет и построение временных диаграмм реакции u₂(t) рекомендуется провести для интеграла времени 0 ≤ t ≤ t_u + 3Θ c шагом Δt ≤ 0,1t_u и для всех трех значений изменяемого параметра.

Основой частотного метода анализа служит преобразование Фурье

, (22)

которое является частным случаем преобразования Лапласа при и может быть применено в том случае, когда преобразуемая функция x(t) абсолютной интегрируемости:

, (23)

где М – любое ограниченное число.

Если условие (формула 23) выполняется для входного сигнала u₁(t) линейной цепи (а оно выполняется для многих реальных сигналов, в том числе и сигналов, приведенных в приложении 2), то выражение для выходного сигнала u₂(t) может быть получено из формулы 5 формальной заменой преобразования Лапласа L^-1 на преобразование Фурье F^-1, а переменной р – на переменную jω:

, (24)

где

- (25)

обратное преобразование Фурье;

- спектральная функция входного сигнала;

- (26)

комплексная частотная характеристика (КЧХ) линейной цепи.

Рассмотрим методику анализа прохождения сигнала через линейную цепь с помощью частотного метода.

1. Спектральная функция входного сигнала u₁(t) может быть найдена при использовании известных свойств и теорем преобразования Фурье, а также спектральных функций типовых сигналов.

Амплитудно-частотный спектр сигнала определяется как модуль, а фазо-частотный спектр (ФЧС) ψ_u1(ω) – как аргумент спектральной функции .

2. Комплексная частотная характеристика цепи находится по известной передаточной функции К(р) формальной заменой переменных р = j ω. Выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) К(ω) = |К(j ω)| и фазо-частотной (ФЧХ) ψ(ω) = Arg{K(j ω)} записываются как модуль и аргумент КЧХ соответственно.

3. Расчет и построение графиков АЧС, ФЧС входного сигнала и АЧХ, ФЧХ цепи рекомендуется провести для интервала частот 0 ≤ ω ≤ ΔΩ_0,1Smax с шагом Δω ≤ 2π/[(3…5)t_u], где ΔΩ_0,1Smax – активная ширина спектра сигнала на уровне 0,1S_max.

Графики АЧС и ФЧС цепи следует построить для всех трех значений изменяемого параметра цепи.

4. Аналитическое выражение для спектральной функции выходного сигнала согласно (24), определяется произведением КЧХ цепи и спектральной функции входного сигнала, т.е.

. (27)

Определение выходного сигнала u₂(t) по его спектральной функции аналитическими методами затруднено, поэтому рекомендуется рассчитать дискретные значения сигнала u₂(t) с помощью дискретного преобразования Фурье.

Основные теоретические сведения относительно прямого (ДПФ) и обратного (ОДПФ) дискретного преобразования Фурье, а также методика расчета приведены в приложении 5. Для выполнения курсовой работы используется программа "Mahtcad", реализующая алгоритм обратного преобразования Фурье. Задача обучаемых после построения АЧС и ФЧС выходного сигнала заключается в дискретизации их по частоте на интервале от 0 до 2ω_в и вводе в ЭВМ значений выборок спектральной плотности выходного сигнала. ЭВМ рассчитывает такое же количество выборок значений выходного сигнала.

5. Построение временных диаграмм сигнала u₂(t), полученного с помощью ОДПФ, рекомендуется провести для интервала времени 0 ≤ t ≤ t_u + 3Θ c шагом Δt ≤ 0,1t_u и для всех трех значений изменяемого параметра.

Оформление работы

Отчет по курсовой работе оформляется на одной стороне листов писчей бумаги формата А4, сброшюрованных затем в тетрадь. Обложка должна быть сделана из плотной бумаги (ватмана) с надписью чертежным шрифтом. В верхнем левом углу указывается номер задания.

Изложение текста, проведение расчетов, оформление таблиц и приложений должно производиться в соответствии с требованиями ГОСТов.

Иллюстративный материал (графики, векторные диаграммы и т.д.) выполняется на миллиметровой бумаге твердыми цветными карандашами или шариковой ручкой тонкими линиями с указанием всех точек, полученных в результате расчетов.

Разрешается использование таблиц и графиков, полученных на печатающем устройстве, если они будут оформлены надлежащим образом (сделаны необходимые надписи и пояснения, обозначены оси координат, точки на графиках аккуратно соединены цветными линиями и т.п.)

Полностью оформленный отчет представляется на проверку преподавателю. После проверки правильно выполненные отчеты зачитываются, о чем сообщается студенту. Отчеты, в которых содержатся неверные результаты, незавершенные или небрежно выполненные материалы, возвращаются для устранения недостатков.

П риложение 1.

Схемы электрических цепей

Продолжение приложения 1

П родолжение приложения 1

П риложение 2

Сигналы

Продолжение приложения 2

П родолжение приложения 2