Таблица 23

Данные по разведочным выработкам

,

где z_i  значения параметра в разведочных выработках; р_i  весовые коэффициенты, зависящие от расстояния r ячейки от разведочных выработок; n  количество близлежащих разведочных выработок.

Весовые коэффициенты чаще всего определяют по формуле р_i = 1/r_i². В расчет параметра z включают разведочные выработки, расположенные не далее некоторого заранее заданного расстояния от ячейки. Если центр ячейки совпадает с какой-либо разведочной выработкой, значение z принимается таким же, как в разведочной выработке.

Геостатистический метод дает наилучшие результаты по сравнению с другими методами, так как он обеспечивает минимальную дисперсию отклонений прогнозных значений параметров от фактических. Метод основан на геостатистической теории Ж.Матерона [14] и носит название кригинг [3]. Значения параметра z в ячейке зависят от значений его в ближайших разведочных выработках и от их взаимного расположения. Простейший точечный кригинг основан на предположении, что ячейка является точкой с координатами центра x и y, тогда значения любого параметра z в нем определяются по формуле

, (12)

где p_i  весовые коэффициенты, получаемые при решении системы уравнений кригинга.

Чтобы получить систему уравнений, вначале находят эмпирическую вариограмму (h), определяемую как половина дисперсии разности между значениями параметра f(x) на расстоянии h:

, (13)

где n  число значений параметра под знаком суммы.

Вариограмма имеет размерность дисперсии и характеризует зависимость между значениями параметра z на расстоянии h. Значения вариограммы зависят от расстояния h (рис.34). Порядок вычисления коэффициентов кригинга следующий:

1. По известным значениям параметра z в разведочных выработках вычисляется эмпирическая вариограмма по формуле (13).

2. Вариограмма аппроксимируется каким-либо подходящим алгебраическим уравнением. Наиболее часто применяется так называемая сферическая модель:

(14)

или логарифмическая модель (модель Де Вийса)

(15)

где D  дисперсия значений параметра; C  постоянная самородков; H = h/R  отношение расстояния h к радиусу автокорреляции R.

3. Зная уравнение вариограммы (14) или (15), можно определить ковариацию K(h) параметра z между любыми двумя выработками или между ячейкой и разведочной выработкой, удаленными друг от друга на расстояние h: K(h) = D – (h).

4. Из значений K(h) составляется система линейных уравнений кригинга:

, (16)

где K₁₂-K_1n  ковариации между разведочными выработками; K_1t-K_nt  ковариации между точкой (центром ячейки) t и разведочными выработками.

В системе уравнений учитываются только те выработки, которые находятся не далее радиуса автокорреляции R от точки t.

5. Решение системы уравнений (16) дает весовые коэффициенты кригинга p_i, что позволяет определить значения параметра z в точке t по формуле (12).

Для каждой точки (ячейки) необходимо составить и решить свою систему уравнений (16), так как значения ковариации K(h) зависят от расстояния между выработками, т.е. от их взаимного расположения. Расчет значений параметров z в любой точке t достаточно произвести один раз, и тогда все необходимые параметры по элементарным блокам, т.е. банк данных по ним, будут получены. Если появятся новые разведочные выработки и данные опробования, то необходимо заново составить и решить систему уравнений (16) только для тех точек t, которые находятся в пределах радиуса автокорреляции от новых разведочных выработок.

От точечного кригинга можно перейти к кригингу блоков. Для этого в каждой точке внутри ячейки рассчитывают значение параметра по приведенной схеме, а потом суммируют и усредняют полученные данные, что эквивалентно численному интегрированию в пределах ячейки.

Эффективность геостатистического метода зависит от надежности вычисления вариограммы (13). При малом количестве выработок расчет вариограммы невозможен и тогда следует обращаться к другим рассмотренным выше методам