Московский Энергетический Институт

(технический университет)

Кафедра ОФ и ЯС

Лаборатория электричества и магнетизма.

Лабораторная работа №55

Определение ширины запрещенной зоны полупроводника

Группа:
Студент:
Преподаватель:
К работе допущен:
Дата выполнения:
Работу сделал:
Работу сдал:

МОСКВА 2005

1. Цель работы

Определение ширины запрещенной зоны полупроводника по краю собственного поглощения и по спектру электролюминесценции.

2. Теоретические основы работы.

Взаимодействия между электронами и ионным остовом в крис­талле не могут полностью разрушить структуру электронных уров­ней атома. Эти взаимодействия вызывают заметные возмущения энергетических уровней только внешних (валентных) оболочек свободных атомов. Наиболее существенным следствием этих возму­щений является расщепление дискретных энергетических уровней валентных электронов в квазинепрерывные энергетические полосы - энергетические зоны.

Строгий расчет энергетического спектра электронов в твер­дом теле предполагает решение уравнения Шредингера для крис­таллической решетки. Если учесть, что в одном кубическом санти­метре твердого тела содержится порядка 10^-23 атомов, то стано­вится очевидным, что строгое решение такой задачи невозможно, даже с помощью самых совершенных ЭВМ.

Для качественного описания расщепления энергетических Уровней рассмотрим классический пример - два связанных (взаимо­действующих) пружинных маятника (рис. 55.1). Если взаимодейст­вия нет (нет средней пружины), то собственная частота колебаний каждого из маятников равна ω₀ =(x/m)^1/2, где х - жесткость пру­жины, т - масса шарика. При взаимодействии шариков через сред­нюю пружину сила упругости, действующая на шарик, зависит от Деформаций двух пружин. В дифференциальное уравнение для каж­дого шарика войдет дополнительный член, характеризующий положе­ние другого шарика. Из решения этих уравнений следует, что лю­бые колебания так называемой "связанной" системы - результат сложения двух гармонических колебаний с собственными частотами ω_а и ω_с причем ω_а > ω_о > ω_с. Здесь ω_а - частота антифазных, ω_с - частота синфазных колебаний. Итак, две одинаковые системы с одинаковыми собственными частотами. Разность ω_а - ω_с тем больше, чем сильнее взаимодействие.

Если воспользоваться формулой Планка для кванта энергии, то из приведенных выше рассуждений следует, что произошло расщепление на два уровня энергии (напомним, что энергия кванта е = ħω). Подобное расщепление уровней энергии происходит в кристаллах. Рассмотрим схему "линейного кристалла", состоящего из цепочки кристаллических узлов (рис. 55.2). В качестве простейшего металла выберем литий (Z = 3). У лития три электрона, два из которых (согласно принципу Паули) находятся в состоянии 1s, а третий - в состоянии 2s. На рис. 55.2 по оси абсцисс отложена координата х; положение узлов кристаллической решетки определяется постоянной кристалла а. По оси ординат отложена потенциальная энергия электронов в кристалле. Сплошными линиями показан график потенциальной энергии электронов в кристалле - результат суммирования потенциальной энергии поля каждого кристаллического узла. Потенциальная энергия электрона в поле изолированного атома показана на этом графике пунктирной линией. Из рис. 55.2 видно, что между электронами (особенно пе­риферийными, валентными электронами) возникает взаимодействие. Эти электроны могут перемещаться по кристаллу, они уже не при­надлежат одному узлу. Говорят, что электроны коллективизирова­ны.

В результате взаимодействия происходит расщепление уровней энергии электронов. Это можно истолковать как следствие принципа Паули: в квантовой системе никакие два электрона не могут иметь одинаковых значений всех четырех квантовых чисел. Величина рас­щепления (как и в случае с шариками) не зависит от числа атомов в кристалле, а лишь от степени их взаимодействия. На рис. 55.3 схематически показано расщепление уровней 1s и 2s при постепен­ном сближении "цепочки" из шести атомов лития. Расстояние R₀ соответствует расстоянию между узлами кристаллической решетки в реальном кристалле. Каждый энергетический уровень расщепляется на N = б подуровней, ширина расщепления растет с уменьшением R. Обычно ширина разрешенной зоны для периферийных электронов сос­тавляет 1 ... 3 эВ.

Примечание. Здесь и далее понятия "ширина зоны", "расстоя­ние между зонами" и т.п. понимаются в том смысле, что это раз­ности энергий на оси Е (в разделе физики "Физика твердого те­ла" энергию традиционно обозначают буквой Е ).

Для лития ширина, так называемой, разрешенной зоны 2s составляет 1 ... 3 эВ, ширина зоны 1s для лития составляет ~ 0,01 эВ. В 1 см³ содержится N ~ 10^-23 атомов, поэтому расстояние между подуровнями в зоне разрешенных энергий имеет порядок 10^-22 эВ. Напомним, что средняя энергия теплового движения при Т = 300 К имеет порядок kТ. Здесь k - постоянная Больцмана, Т - температура по шкале Кельвина. Таким образом, значение сред­ней энергии теплового движения kТ - 10^-21 эВ значительно больше, чем расстояние между подуровнями в разрешенной зоне.

Из сказанного следует, что разрешенная зона энергий может рассматриваться как квазинепрерывная. Однако число состояний, а следовательно, и число электронов в зоне конечно: для зоны 2s, для которой квантовые числа п, I и m - фиксированные (п = 2, I = 0, m = 0) оно равно 2N, где N - число узлов кристаллической решетки. Коэффициент 2 отражает две возможные ориентации спина электрона.

Для иллюстрации зависимости ширины разрешенной зоны от степени взаимодействия на рис. 55.2 нанесены схематически разрешенные зоны 1s и 2s для кристалла лития. Взаимодействие между электронами, находящимися в состоянии 2s, значительно больше, чем между электронами, находящимися в состоянии 1s, по­этому ширина зоны 2s значительно больше.

Разрешенные зоны разделены интервалами, свободными от разрешенных уровней энергии. Эти интервалы называют запрещенными зонами. Существование запрещенных зон - следствие волновых свойств электронов.

Следует подчеркнуть, что образование зон из атомных уровней происходит во всех типах кристаллов. Различие между твердыми телами (по электропроводности, теплопроводности и другим физическим свойствам) - следствие взаимного расположения зон и их заполнения.

В качестве примера опять рассмотрим простейший металл - ли­тий. В атоме лития три электрона: два из них находятся в со­стоянии 1s, один - в состоянии 2s. На рис. 55.3 стрелочками по­казаны направления спинов электронов. Зона 1s, имеющая 2N ва­кансий, оказывается полностью заполненной, зона 2s наполовину пуста. В ней имеются незанятые энергетические уровни. Достаточно сообщить электрону такой зоны энергию порядка 10^-22 эВ, чтобы перевести его на соседний уровень, т.е. изменить его импульс и энергию. При комнатной температуре в электрическом поле с напряженностью ~ 10⁵ В/м при длине свободного пробега, равной рас­стоянию между узлами кристаллической решетки а ~ 10^-10 м в не­заполненной зоне электроны могут переходить с одного энергети­ческого уровня на другой, т.е. ускоряться электрическим полем. Отсюда следует, что литий - проводник. Частично заполненная зона проводника носит название зоны проводимости.

Рассмотрим случаи, представленные на рис. 55.4. Слева и справа от оси энергии условно изображены разрешенные зоны энер­гии в виде прямоугольников. Между прямоугольниками - запрещенные зоны энергии. На левой половине рис. 55.4 две нижние разрешенные зоны заштрихованы. Это означает, что они полностью заполнены. Электроны, находящиеся в этих зонах (на соответствующих уровнях энергии), не могут принимать участия в электропроводности. Сле­дующая зона заштрихована наполовину. Это значит, что она запол­нена частично. Даже очень слабое электрическое поле может пере­водить электроны в этой зоне с одного подуровня на другой. При этом электроны, которые двигались против поля, ускоряются, электроны, двигавшиеся в направлении поля, будут замедляться. В кристалле возникает электрический ток. Эта зона - зона проводи­мости, соответствующий кристалл - проводник.

Из правой половине рис. 55.4 изображен кристалл, у которого три нижние зоны полностью заполнены электронами (они заштрихованы). Верхняя заполненная зона соответствует состояниям валентных электронов. Она называется валентной зоной. В верхней незаполненной зоне (ее называют зоной проводимости) электронов нет. Электроны в валентной зоне не мо­гут участвовать в электропроводности (принцип Паули не разреша­ет электрону переходить на уже занятый энергетический уровень, а незанятых уровней в зоне нет). Такой кристалл является либо изолятором, либо полупроводником.

Между валентной зоной и зоной проводимости расположена запрещенная зона - область энергий между верхним уровнем ва­лентной зоны и нижним уровнем зоны проводимости. В кристалле не могут находиться электроны с энергиями, соответствующими этому интервалу энергий. Поэтому запрещенную зону иногда называют энергетической щелью. Обычно ее интервал обозначают символом Еg (от английского слова gap, означающего "щель").

Если существует запрещенная зона, то переходы электронов между валентной зоной и зоной проводимости возможны лишь при наличии внешнего источника энергии, способного сообщить элект­рону достаточную энергию. Ширина запрещенной зоны - критерий, позволяющий отнести кристалл к классу полупроводников или к классу диэлектриков (изоляторов). Кристаллы, у которых ширина запрещенной зоны Еg > 2 эВ принято называть диэлектриками, а кристаллы, у которых Еg < 2 эВ - полупроводниками. Так, алмаз (Еg = 1 эВ) - хороший изолятор, а кремний (Eg = 1,09 эВ) и гер­маний (Eg = 0,72 эВ) - полупроводники.