Елементи аналітичної геометрії в n-вимірному просторі

§ 1. Гіперплощина й півиростір

З курсу аналітичної геометрії відомо, що будь-яке рів­няння першого степеня А₁х₁+ А₂ х ₂ = С зображає на пло­щині х₁Ох₂ пряму, перпендикулярну до вектора (А_1, А₂). Вектор (А_1,А₂) називають нормальним вектором прямої.

Якщо записати рівняння А₁х₁ + А₂х₂= С у вигляді рів­няння у відрізках на осях, тобто , то числа а₁ а₂ виражають величини відрізків, які пряма відгинає на коорди­натних осях.

Аналогічно рівняння А₁х₁ + А₂х₂ + А_іх_і = С у тривимір­ному просторі зображає площину, перпендикулярну до век­тора (А₁ А₂ А₃), який називають нормальним вектором площини.

Рівняння є рівнянням площини у відрізках на осях, числа а₁, а₂, а₃ — величини відрізків, що відгина­ються площиною на координатних осях.

Рівняння площини в триви­мірному просторі, а також пря­мої на площині, можна подати у

векторній формі () = р, де ° — одиничний вектор, перпендикулярний до площини, або

нормальний вектор площини; — поточний радіус-вектор пло­щини, тобто вектор, який сполу­чає початок координат з довільною точкою площини;

р — відстань від початку координат до площини.

Рівняння () =р означає, що проекція будь-якого радіуса-вектора площини на напрям нормального вектора ° дорівнює р (рис. 5.1).

Узагальненням поняття прямої на площині та площини в тривимірному просторі є поняття гіперплоищни.

!Означення

Гіперплощиною в я-вимірному просторі називають гео­метричне місце точок (х₁,х₂,….,х_п), координати яких задовольняють рівняння

А₁х₁ + А₂х₂ + ... +А_пх_п= С. (5.1)

Вважатимемо, що ця гіперплощина нормальна до вектора ( A₁, А₂,…..,А_п) і що рівнянню

відповідає гіперплощина, яка відтинає на координатних осях відрізки а₁ а₂, а_n.

Векторне рівняння в n-вимірному просторі визначає гіперплощину, нормальну до одиничного вектора ° і розміщену на відстані р від початку координат. Пряма на площині ділить її на дві частини, які називають півплощинами. Площина в тривимірному просторі також ділить весь простір на дві частини, які називаються півпросторами. Аналогічно гіперплощина в n-вимірному просторі ділить цей простір на дві частини, кожну з яких називають півпростором.

Нехай деяка гіперплощина в л-вимірному просторі за­дається рівнянням .Тоді для точок М одного з иівиросторів проекції ОС₁ векторів, що їх зображають, на

напрям нормального вектора ° менші від р, а для точок N другого півиростору проекції ОС₂ векторів, що їм відпо­відають, на ° більші від р (рис. 5.2).

Отже, одним з півпросторів є множина векторів (точок) для яких виконується нерівність , а для векторів (точок) другого півпростору — . Сама гіпершю шина може бути приєднана до одного з півпросторів. Тоді вся множина векторів (точок) n-вимірного про­стору поділяється на два види: вектори (точки), для яких , і точки, для яких або навпаки і . Для того щоб визначити належність вектора (точки) до того чи іншого півпростору, треба координати вектора підставити в нерівність, що зображає цей півпростір. Якщо нерівність виконується, то вектор (точка) належиіь йому, в противному разі — не належить.

Приклад. Чи належить точха ссмивимірного простору X* (1,0,2,3, 5,-2 4) півпростору 2х₁-Зх₂-6х₃+х₄ + x₅ -11х₆ + 3x₇≥4?

Розв'язання. Підставивши координати точки в нерівність, ді­станемо 2*1-3*0-6*2+1*3 + 1*5-11*(- 2) + 3*4 = 32 >4

Отже, точка належить заданому півпростору