Розв’язання

Схема (а)

1. Визначаємо розміри балки:

l₁=10a = 1,4 м, а = 0,14 м,

= 1, b₁= 1a= 0,14 м,

= 6, b₂= 6а = 0,14 · 6= 0,84 м.

Викреслюємо розрахункову схему відповідно до отриманих розмірів (рис.20а).

Побудова епюри поперечних сил.

Ділянка АВ. Перетин 1-1, 0 ≤ z₁ ≤0,84м,

Q=qz₁.

z₁ = 0, Q_A =0,

z₁= 0,84м, Q_B = 0,84 · 20 = 16,8 кН.

Ділянка ВС. Перетин 2-2, 0≤ z₂≤ 0,42 м,

Q_B = Q_C=q·AB= 20 · 0,84 = 16,8 кН.

На цій ділянці немає сил, тому Q не міняє величини.

Ділянка СD. Перетин 3-3, 0 ≤ z₃ ≤ 0,14 м,

Q_C = Q_D = 16,8 кН.

Будуємо епюру Q (мал. 20а) відповідно до прийнятого правила знаків для поперечних сил.

Побудова епюри згинальних моментів

Ділянка АВ. .

z₁ = 0, M_A= 0,

z₁= 0,42 м, = - 1,764 кН·м,

z₁= 0,84 м, = - 7,056 кН·м.

Ділянка ВС. .

z₂ = 0 , M_B= - 7,056 кН·м,

z₂= 0,42 м, M_C= -20· 0,84·(0,42 +0,42)= -14,112 кН·м.

Ділянка СD. .

z₃ = 0 , M_C = -14,112 -10 =-24,112 кН·м,

z₃= 0,14 м, M_D = -20 · 0,84 · (0,42 +0,42 +0,14)-10=-26,464 кН·м.

Будуємо епюру M_зг.

По епюрі моментів визначаємо, що небезпечний переріз перебуває в точці D, де M_D=M_max = 26,464 кН·м.

Рисунок 20а.

2. Користуючись умовою міцності при вигині, підбираємо діаметр круглого перетину дерев'яної балки у небезпечному перерізі:

,

де – момент опору круглого перетину.

Тоді: ,

Округляємо: d= 330 мм.

Схема (б)

1. Визначаємо розміри балки:

l₂ = 10а =7м, а = 0,7 м,

= 1, b₁= а = 0,7 м,

= 6, b₂= 6а = 4,2 м,

= 2, b₃ = 2а = 1,4 м.

Накреслюємо розрахункову схему відповідно до отриманих розмірів (рис.20б).

2. Знаходимо опорні реакції:

,

,96 кН,

,

,

90 кН.

Перевірка:

90 + 26 – 4 – 20 · 5,6 = 0,

116 – 116 = 0.

Реакції знайдені вірно.

Побудова епюри поперечних сил.

Ділянка КА. Перетин 1–1, 0 ≤ z₁≤ 1,4 м,

,

z₁=0, Q_K=0,

z₁=1,4м, Q_A=-20·1,4=-28 кН.

Ділянка ВС. Перетин 2–2, 0 ≤ z₂ ≤ 0,7 м,

Q= - R_B, Q= -26 кН.

Ділянка СD. Перетин 3–3, 0 ≤ z₃ ≤ 2,1 м,

, кН.

Ділянка DА. Перетин 4–4, 0 ≤ z₄≤ 4,2 м,

,

z₄=0, Q_D= -22 кН,

z₄=4,2 м, Q_A= - 22+20·4,2=62 кН.

Будуємо епюру Q.

Побудуємо епюри згинальних моментів.

Ділянка КА. .

z₁=0, M_K=0,

z₁=0,7м, кН·м,

z₁=1,4м, кН·м.

Ділянка ВС. .

z₂=0, M_B=0,

z₂=0,7 м, M_C=26·0,7=18,2 кН·м.

Ділянка СD. .

z₃=0, M_C=18,2 кН·м,

z₃=2,1 м, M_D=26·2,8 - 4·2,1=64,4 кН·м.

Ділянка AD. , (*)

На ділянці АD епюра моментів описується параболою, але для її побудови необхідно знайти згинальний момент усередині ділянки АD ще хоча б в одній точці.

Визначаємо М_зг у точці 0 (див. епюру Q), де поперечна сила на ділянці АD дорівнює нулю. Т.я. між поперечною силою й згинальним моментом існує диференціальна залежність: ,

то при z₄=z₄⁰, , в M=M_max.

Для знаходження M_max продиференціруємо (*) по z₄: , , м.

Тоді z₄=z₄⁰=1,1 м, кН·м.

Далі при z₄=0, M_D= 64,4 кН·м,

z₄=4,2 м, M_A= - 19,6 кН·м .

(Пропонуємо переконатися в цьому самостійно).

Будуємо епюру М_зг.

Рисунок 20б.

По цій епюрі моментів визначаємо, що в небезпечному перерізі M_max=76,5кН·м.

Підберемо необхідний перетин двотаврової балки: .

Звідси м³, см³.

По таблиці сортаменту Держстандарт 8239-72 знаходимо найближчий більший момент опору для профілю № 30. Цей номер профілю приймаємо для виготовлення заданої балки.