Cлучайные величины

Дискретная случайная величина

5. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти функцию распределения F(x), F(x₀) и вычислить вероятность Р(,) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения из промежутка (,). Построить многоугольник распределения.

5.1								5.2
	Х	1		3	5		7		Х	5		10	15		20
	Р	0,2		0,3	0,1		0,4		Р	0,4		0,3	0,1		0,2
	x0=3		=0			=3			x0=15		=5			=15
5.3								5.4
	Х	-2		0	1		5		Х	0		1	2		3
	Р	0,15		0,2	0,15		0,5		Р	0,2		0,1	0,4		0,3
	x0=0		=-2			=5			x0=3		=-1			=2
5.5								5.6
	Х	1		3	5		7		Х	-0,5		0	0,5		1
	Р	0,1		0,1	0,3		0,5		Р	0,1		0,4	0,3		0,2
	x0=5		=1			=5			x0=0,5		=0			=0,5

5.7								5.8
	Х	-1		0	0,5		1		Х	0		2	3		4
	Р	0,3		0,1	0,3		0,3		Р	0,2		0,2	0,3		0,3
	x0=0		=-1			=1			x0=4		=0			=3

5.9								5.10
	Х	-0,3		0	0,1		1		Х	-2		-1	1		1,5
	Р	0,3		0,1	0,4		0,2		Р	0,4		0,1	0,2		0,3
	x0=1		=0			=1			x0=1		=-2			=1
5.11								5.12
	Х	3		4	5		7		Х	2		2,4	3		3,5
	Р	0,3		0,1	0,4		0,2		Р	0,2		0,1	0,3		0,4
	x0=5		=3			=5			x0=2,4		=0			=2,4
5.13								5.14
	Х	1		3	5		7		Х	1		3	5		6
	Р	0,3		0,2	0,2		0,3		Р	0,2		0,15	0,25		0,4
	x0=5		=1			=5			x0=5		=1			=6
5.15								5.16
	Х	-2		0	1		3		Х	-1		0	1		2
	Р	0,2		0,1	0,5		0,2		Р	0,2		0,3	0,4		0,1
	x0=0		=0			=3			x0=1		=-1			=2
5.17								5.18
	Х	3		6	9		12		Х	0		2	3		5
	Р	0,3		0,4	0,2		0,1		Р	0,1		0,2	0,3		0,4
	x0=9		=6			=12			x0=3		=-1			=3
5.19								5.20
	Х	0		2	4		6		Х	-1		0	1		1,5
	Р	0,1		0,1	0,2		0,6		Р	0,4		0,1	0,2		0,3
	x0=0		=0			=6			x0=0		=-1			=1
5.21								5.22
	Х	-1		0	1		2		Х	0		1	2		3
	Р	0,2		0,15	0,25		0,4		Р	0,1		0,1	0,3		0,5
	x0=1		=0			=1			x0=2		=0			=3

5.23								5.24
	Х	-2		0	2		4		Х	-0,2		0	0,2		0,3
	Р	0,1		0,2	0,5		0,2		Р	0,3		0,1	0,3		0,3
	x0=4		=-3			=2			x0=0,3		=0			=0,3

6. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х. Выразить закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

6.1 0 x3 F(x)=0,3 3<x6 0,7 6<x9 1 x>9	6.2 0 x0 F(x)=0,3 0<x1 0,6 1<x2 1 x>2	6.3 0 x-0,2 F(x)=0,4 -0,2<x0 0,6 0<x0,2 1 x>0,2
6.4 0 x0 F(x)=0,3 0<x2 0,5 2<x3 1 x>3	6.5 0 x-1 F(x)=0,4 -1<x0 0,65 0<x1 1 x>1	6.6 0 x0 F(x)=0,3 0<x2 0,6 2<x5 1 x>5
6.7 0 x1 F(x)=0,2 1<x3 0,5 3<x5 1 x>5	6.8 0 x-0,5 F(x)=0,2 -0,5<x0 0,7 0<x0,5 1 x>0,5	6.9 0 x0 F(x)=0,4 0<x2 0,5 2<x4 1 x>4
6.10 0 x-1 F(x)=0,5 -1<x0 0,7 0<x1 1 x>1	6.11 0 x1 F(x)=0,3 1<x3 0,8 3<x5 1 x>5	6.12 0 x5 F(x)=0,4 5<x10 0,8 10<x15 1 x>15
6.13 0 x-2 F(x)=0,25 -2<x0 0,65 0<x1 1 x>1	6.14 0 x2 F(x)=0,3 2<x3 0,5 3<x4 1 x>4	6.15 0 x-1 F(x)=0,4 -1<x0 0,6 0<x3 1 x>3

6.16 0 x0 F(x)=0,3 0<x2 0,6 2<x3 1 x>3	6.17 0 x-0,3 F(x)=0,3 -0,3<x0 0,5 0<x0,1 1 x>0,1	6.18 0 x-2 F(x)=0,5 -2<x-1 0,7 -1<x1 1 x>1
6.19 0 x3 F(x)=0,3 3<x4 0,7 4<x7 1 x>7	6.20 0 x2 F(x)=0,2 2<x3 0,6 3<x3,5 1 x>3,5	6.21 0 x1 F(x)=0,3 1<x5 0,7 5<x6 1 x>6
6.22 0 x3 F(x)=0,15 3<x5 0,4 5<x8 1 x>8	6.23 0 x-2 F(x)=0,2 -2<x0 0,6 0<x1 1 x>1	6.24 0 x-1 F(x)=0,1 -1<x0 0,6 0<x2 1 x>2

7. Дан закон распределения дискретной случайной величины. Вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

7.1							7.2
Х	110	120	130	140	150		Х	318	328	338	348	358
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2		Р	0,15	0,15	0,2	0,35	0,15
7.3							7.4
Х	515	525	535	545			Х	111	113	115	117	119
Р	0,12	0,18	0,38	0,32			Р	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1
7.5							7.6
Х	180	200	220	240	260		Х	45	70	95	120	145
Р	0,14	0,2	0,32	0,1	0,24		Р	0,1	0,2	0,5	0,1	0,1
7.7							7.8
Х	62	84	106	128	150		Х	32	37	42	47	52
Р	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1		Р	0,25	0,15	0,45	0,05	0,1
7.9							7.10
Х	32	35	38	41	44		Х	120	135	150	165	180
Р	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1		Р	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

7.11							7.12
Х	-170	-160	-150	-140	-130		Х	530	545	560	575	590
Р	0,3	0,2	0,1	0,15	0,25		Р	0,1	0,15	0,25	0,35	0,15
7.13							7.14
Х	-220	-200	-180	-160	-140		Х	300	305	310	315	320
Р	0,15	0,35	0,25	0,15	0,1		Р	0,1	0,1	0,3	0,4	0.1
7.15							7.16
Х	200	240	280	320	360		Х	90	95	100	105	110
Р	0,15	0,2	0,45	0,1	0,1		Р	0,08	0,12	0,52	0,16	0,12
7.17							7.18
Х	75	85	95	105	115		Х	14	18	22	26	30
Р	0,14	0,16	0,48	0,12	0,1		Р	0,11	0,21	0,32	0,24	0,12
7.19							7.20
Х	-28	-20	-12	-4	4		Х	125	130	135	140	145
Р	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07		Р	0,1	0,12	0,3	0,08	0,4
7.21							7.22
Х	106	110	114	118	122		Х	90	96	102	108	114
Р	0,2	0,15	0,35	0,1	0,2		Р	0,05	0,15	0,2	0,1	0,5
7.23							7.24
Х	90	93	96	99	102		Х	115	125	135	145	155
Р	0,15	0,3	0,05	0,14	0,36		Р	0,12	0,08	0,02	0,18	0,60

8.1. Электронная аппаратура имеет три параллельные дублирующие линии. Вероятность выхода из строя каждой линии за время гарантийного срока работы аппаратуры в целом равна 0,1. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа линий, вышедших из строя.

8.2. Длительной проверкой установлено, что на каждые 10 точных приборов не имеют дефектов 8. Найти ряд распределения и математическое ожидание числа точных приборов из взятых наудачу трех приборов.

8.3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено три билета. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа билетов, на которые выпал выигрыш.

8.4. Вероятность того, что покупатель, зашедший в обувной магазин, приобретет обувь 41-го размера, принимается равной 0,3. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа покупателей, которым необходима обувь 41-го размера из первых трех зашедших в магазин покупателей.

8.5. При автоматическом изготовлении некоторых деталей в среднем на каждые 10 деталей 4 оказываются с отклонением от стандарта. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа стандартных деталей из взятых наудачу трех деталей.

8.6. В лаборатории имеется три мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа включенных в данный момент моторов.

8.7. Производится набрасывание колец на колышек. Вероятность попадания при одном броске - 0,3. Найти ряд распределения и математическое ожидание случайного числа наброшенных колец при трех бросках.

8.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится 3 выстрела. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа попаданий в цель.

8.9. Среди деталей, поступающих на конвейер, в среднем 30% бракованных. Найти ряд распределения и математическое ожидание случайного числа бракованных деталей среди поступивших на конвейер трех деталей.

8.10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в данном опыте равна 0,2. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа отказавших элементов в одном опыте.

8.11. На некотором участке для мотоциклиста-гонщика имеются 3 препятствия, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,3. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа остановок мотоциклиста.

8.12. Для студенческого общежития приобретено 3 телевизора. Для каждого из них вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,2. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа телевизоров, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

8.13. В студии имеется три телекамеры, работающие независимо друг от друга. Для каждой камеры вероятность включения в данный момент равна 0,6. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа включенных телекамер.

8.14. При установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа обрывов нити в течение часа среди трех веретен, работающих независимо друг от друга.

8.15. Автомашины доставляют сырье на завод от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность прибытия в срок машины от любого из поставщиков постоянна и равна 0,7. Найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа прибывших в срок автомашин.

8.16. Монету бросают три раза. Случайная величина А -число выпадений герба. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины А.

8.17. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано три прибора. Случайная величина Х - число отказавших за время испытаний приборов. Составить закон распределения и найти математическое ожидание случайной величины Х.

8.18. Игральную кость бросают 3 раза. Найти ряд распределения числа выпадений шестерки. Вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

8.19. В некотором цехе брак составляет 10% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из трех наудачу взятых. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

8.20. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

8.21. Вероятность того, что в магазине есть полный ассортиментный минимум товаров, равна 0,6. Комиссия народного контроля проверила наличие товаров в трех магазинах района. Составить закон распределения и вычислить математическое ожидание случайного числа проверенных магазинов, в которых обнаружен необходимый ассортиментный минимум товаров.

8.22. Вероятность того, что серьезно занимающийся в семестре студент сдаст экзамен на повышенную оценку, равна 0,8. Составить закон распределения и вычислить математическое ожидание числа студентов, получивших 4 и 5 на экзамене, из опрошенных трех.

8.23. В одной из студенческих групп проведено тестирование на выявление способности к логическому мышлению. Вероятность обнаружения таких способностей при этом равна 0,6. Составить закон и найти математическое ожидание случайного числа студентов, у которых обнаружена способность к логическому мышлению, среди указанных трех лиц.

8.24. Вероятность того, что предприятие получит полную финансовую самостоятельность в течение данного года, равна 0,8. Составить закон и найти математическое ожидание числа предприятий, получивших полную финансовую самостоятельность, из интересующих нас трех.

9. Составить закон распределения случайной величины с.в.Х.

9.1. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается лишь в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого прибора равна 0,9. С.в. Х - число испытанных приборов.

9.2. В коробке лежат 7 карандашей, из которых 4 - красные. Наудачу извлекаются 3 карандаша. С.в. Х - число красных карандашей в выборке.

9.3. Вероятность производства нестандартной детали равна 0,1. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее качество. Если она оказывается нестандартной, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более трех деталей. С.в. Х - число проверяемых стандартных деталей.

9.4. Из десяти книг, среди которых 6 справочников, отобрано 3. С.в. Х - число справочников среди отобранных книг.

9.5. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. С.в. Х - число промахов.

9.6. Испытуемый прибор состоит из трех элементов, вероятности отказа которых равны соответственно 0,2, 0,3, 0,1. Отказы элементов независимы. С.в. Х - число отказавших элементов.

9.7. Из семи агитаторов, среди которых четыре женщины, назначено дежурить на агитпункте 3 человека. С.в. Х - число женщин среди дежурных.

9.8. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле равна 0,5, для второго - 0,4. С.в. Х - число попаданий в мишень.

9.9. Вероятность того, что в телеателье есть необходимая для ремонта вашего телевизора лампа, равна 0,4. В городе 3 телеателье. С.в. Х - число посещенных телеателье.

9.10. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка - 0,7, для втрого - 0,8, для третьего - 0,9. С.в. Х - число станков, которые потребуют внимания рабочего.

9.11. Нужная студенту книга может находиться в четырех библиотеках с равными вероятностями 0,4. С.в. Х - число библиотек, которые посетит студент.

9.12. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на “отлично”, наугад извлекают 3 работы. С.в. Х - число оцененных на “отлично” работ среди извлеченных.

9.13. На участке работают 10 человек, из них 4 закончили ПТУ. Для участия в конкурсе “лучший по профессии” отобрана группа из трех человек. С.в. Х - число рабочих, закончивших ПТУ, среди участников конкурса.

9.14. Для младшей группы детского сада куплено 12 игрушек, среди которых 5 мягких. Дети взяли для игры наудачу 3 игрушки. С.в. Х - число мягких игрушек, взятых детьми.

9.15. Вероятность того, что монетный приемник автомата при опускании монеты срабатывает правильно, равна 0,9. Имеется 4 монеты. С.в. Х - число опущенных монет до первой правильной работы автомата.

9.16. Среди десяти участников международной конференции английским языком владеют 5 человек, остальные общаются на немецком. Наудачу отобрано 3 участника. С.в. Х - число участников, владеющих английским языком, среди отобранных.

9.17. Преподаватель задает студенту на коллоквиуме не более трех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, 0,8. Преподаватель прекращает опрос, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. С.в. Х - число дополнительных вопросов, заданных студенту.

9.18. В группе из девяти спортсменов 6 лыжников. Известно, что в группе - 3 мастера спорта. С.в. Х - число лыжников среди мастеров спорта.

9.19. В продажу поступили 10 костюмов, среди которых 6 сшиты фабрикой № 1. Продано 3 костюма. С.в. Х - число костюмов, изготовленных фабрикой № 1, среди проданных.

9.20. В лаборатории производится 3 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью 0,3 может произойти событие. Опыты производятся до первого появления события, после чего они прекращаются. С.в. Х - число произведенных опытов.

9.21. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея боезапас из трех патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. С.в. Х - боезапас, оставшийся неизрасходованным.

9.22. Производится 2 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9. С.в. Х - разность между числом попаданий и числом промахов.

9.23. Миша потерял ключи от квартиры. Соседи дали ему связку из четырех ключей, один из которых Мишин. Миша подбирает ключ случайно, удаляя испробованный ключ из дальнейшего выбора. С.в. Х - число испытаний.

9.24. У электромонтера 3 лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,1. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. С.в. Х - число испробованных лампочек.

Непрерывная случайная величина

10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x).

Найти: 1) плотность распределения вероятностей f(x);

1. неизвестный параметр a;

1. вероятность того, что в результате одного испытания с.в. Х примет значение, заключенное в интревале (, );

1. математическое ожидание M[Х] и дисперсию D[Х];

1. вероятность того. что в результате n независимых испытаний с.в. Х примет k раз значение, заключенное в интревале (, ).

10.1 0 x-1 F(x)=ax+0,75 -1<x1/3 1 x>1/3				10.2 0 x0 F(x)=1/3x+a 0<x3 1 x>3
=-0,5	=1	n=300	k=220	=0,5	=2,5	n=200	k=135
10.3 0 x2 F(x)=ax-1 2<x4 1 x>4				10.4 0 x0 F(x)=aarctg x 0<x1 1 x>1
=1	=3	n=120	k=80	=3/3	=1	n=160	k=450

10.5 0 x0 F(x)=ax2 0<x1 1 x>1				10.6 0 x/4 F(x)= acos2x /4<x/2 1 x>/2
=0,5	=2	n=400	k=320	=/4	=/3	n=225		k=130
10.7 0 x1 F(x)=a(x2-x) 1<x2 1 x>2				10.8 0 x2 F(x)=1/3x+a 2<x5 1 x>5
=0,5	=1,5	n=800	k=330	=2,5	=3,5		n=200		k=90
10.9 0 x0 F(x)=ax 0<x4 1 x>4				10.10 0 x2 F(x)=ax2-x+1 2<x4 1 x>4
=2	=5	n=500	k=220	=3	=3,5		n=450		k=150
10.11 0 x-6 F(x)=ax+2/9 -6<x3 1 x>3				10.12 0 x3 F(x)=x2+ax+9 3<x4 1 x>4
=-2	=1	n=270	k=30	=3,5	=4		n=300		k=215
10.13 0 x2 F(x)=a(x-2)2 2<x3 1 x>3				10.14 0 x0 F(x)=asin(x/2) 0<x/3 1 x>/3
=2,5	=3,5	n=400	k=310	=0	=/6		n=225		k=125

10.15 0 x1 F(x)=a(x-1) 1<x3 1 x>3				10.16 0 x1 F(x)=a(x-1)3 1<x2 1 x>2
=2,5	=3,5	n=800	k=210	=1,5	=2	n=340	k=400

10.17 0 x0 F(x)=a(x2+x) 0<x1 1 x>1					10.18 0 x-1 F(x)=a+1/arcsin x -1<x1 1 x>1
=0,5	=2		n=800	k=502	=0,5	=3/2	n=100	k=20
10.19 0 x0 F(x)=ax3 0<x1 1 x>1					10.20 0 x1 F(x)=-1/3+ax2 1<x2 1 x>2
=0,5	=2		n=800	k=720	=1,5	=1,75	n=400	k=120
10.21 0 x0 F(x)=ax2+x 0<x2 1 x>2					10.22 0 x4 F(x)=a(x-4)2 4<x5 1 x>5
=1	=3		n=640	k=170	=3	=4,5	n=100	k=60
10.23 0 x0 F(x)=ax2 0<x1 1 x>1					10.24 0 x2 F(x)= a(x-2)2 2<x4 1 x>4
=-1	=0,5	n=3600		k=920	=3	=3,5	n=100	k=40

11. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).

Найти: 1) функцию распределения F(x);

1. вероятность того, что в результате одного испытания с.в. Х примет значение, заключенное в интревале (, );

1. математическое ожидание M[Х];

1. вероятность того, что в результате n независимых испытаний с.в. Х примет значение, заключенное в интервале (, ), от k₁ до k₂ раз.

11.1 0 x<-2 f(x)=x/2+1 -2<x<0 0 x>0			11.2 0 x</6 f(x)=3sin3x /6<x</3 0 x>/3
=-1	=0			=/6	=/4
n=50	k1=30	k2=45		n=900	k1=650	k2=700
11.3 0 x<0 f(x)=1-x/2 0<x<2 0 x>2			11.4 0 x<0 f(x)=x/2 0<x<2 0 x>2
=0	=1			=1	=2
n=80	k1=50	k2=70		n=300	k1=235	k2=250
11.5 0 x<4 f(x)=1/8 4<x<12 0 x>12			11.6 f(x)= 1 _ xR (1+x2)
=5	=7			=-1	=1
n=100	k1=45	k2=65		n=400	k1=210	k2=230
11.7 0 x<0 f(x)=2/9x 0<x<3 0 x>3			11.8 0 x<-1 f(x)=1/2(x+1) -1<x<1 0 x>1
=1	=4			=-0,5	=0,5
n=90	k1=60	k2=70		n=900	k1=450	k2=480
11.9 0 x<4 f(x)=1/2x-2 4<x<6 0 x>6			11.10 0 x<2 f(x)=0,375(x-2)2 2<x<4 0 x>4
=3	=5			=3	=3,5
n=160	k1=50	k2=60		n=900	k1=285	k2=300

11.11 0 x<0 f(x)=3/8x2 0<x<2 0 x>2			11.12 0 x<-3 f(x)=1/2(x+3) -3<x<-1 0 x>-1
=-1	=0,5		=-2,5	=-2
n=1000	k1=15	k2=20	n=225	k1=50	k2=75
11.13 0 x<-1 f(x)=1/(1-x2)-1/2 -1<x<1 0 x>1			11.14 0 x<2 f(x)=2/4(x-2)-1/2 2<x<4 0 x>4
=0	=0,5		=2,5	=2,72
n=150	k1=30	k2=40	n=625	k1=70	k2=150
11.15 0 x<0 f(x)=cosx 0<x</2 0 x>/2			11.16 0 x<-1 f(x)=-2x -1<x<0 0 x>0
=-/2	=/6		=-0,5	=-0,25
n=60	k1=20	k2=35	n=100	k1=25	k2=40
11.17 0 x<0 f(x)=e-x x>0 			11.18 0 x<0 f(x)=1/cos2x 0<x</4 0 x>/4
=3	=5		=/6	=/4
n=1000	k1=60	k2=85	n=400	k1=180	k2=250
11.19 0 x<0 f(x)=2cos2x 0<x</4 0 x>/4			11.20 0 x<1 f(x)=3/x4 x>1 
=/12	=/4		=2	=4
n=120	k1=50	k2=70	n=400	k1=30	k2=100

11.21 0 x<1 f(x)=3/8(x-1)2 1<x<3 0 x>3			11.22 0 x<0 f(x)=2/25x 0<x<5 0 x>5
=2	=2,5			=3	=6
n=525	k1=165	k2=180		n=100	k1=70	k2=90

11.23 0 x</2 f(x)=sinx /2<x< 0 x>			11.24 0 x<0 f(x)=2x 0<x<1 0 x>1
=3/4	=			=0,25	=0,5
n=450	k1=140	k2=200		n=1000	k1=160	k2=200

12. С.в. Х распределена равномерно на отрезке [a,b]. Записать f(x), вычислить M[X], D[X].

№ п/п	a	b	№ п/п	a	b	№ п/п	a	b
12.1	1,0	3,0	12.9	1,0	7,0	12.17	2,0	8,0
12.2	1,1	3,3	12.10	1,0	5,0	12.18	2,0	6,0
12.3	2,0	4,0	12.11	1,2	7,4	12.19	0,1	2,3
12.4	2,4	4,4	12.12	1,4	7,6	12.20	0,2	3,4
12.5	2,3	4,7	12.13	1,3	5,3	12.21	0,5	1,5
12.6	0,4	2,0	12.14	1,7	5,9	12.22	1,6	4,8
12.7	0,3	2,3	12.15	1,3	3,7	12.23	5,0	11,2
12.8	1,5	3,5	12.16	1,5	3,7	12.24	4,4	6,2

13. Распределение с.в. Х подчинено показательному закону с параметром . Записать f(x), вычислить M[X], D[X].

№ п/п		№ п/п		№ п/п	
13.1	2,0	13.9	2,1	13.17	2,2
13.2	3,0	13.10	3,2	13.18	3,1
13.3	4,0	13.11	4,3	13.19	4,2
13.4	5,0	13.12	5,4	13.20	5,2
13.5	6,0	13.13	6,1	13.21	6,2
13.6	1,1	13.14	1,2	13.22	7,0
13.7	1,4	13.15	2,4	13.23	2,3
13.8	0,1	13.16	0,2	13.24	0,3

14. Распределение с.в. Х подчинено нормальному закону с параметрами а и . Записать f(x), F(x), вычислить P(,), P(X-a<).

№	а					№	а				
14.1	3	2	1	5	2	14.13	7	5	1	15	6
14.2	3	4	1	10	3	14.14	6	3	2	10	4
14.3	10	2	12	14	3	14.15	6	4	1	12	5
14.4	20	5	15	25	4	14.16	6	5	2	12	6
14.5	0	10	5	15	15	14.17	8	4	3	15	5
14.6	4	3	0	10	4	14.18	10	5	4	16	6
14.7	4	5	2	15	6	14.19	10	8	4	20	9
14.8	10	4	5	16	5	14.20	15	10	3	30	9
14.9	9	8	1	20	9	14.21	12	6	5	20	7
14.10	8	5	3	15	6	14.22	12	10	0	30	8
14.11	8	6	2	20	7	14.23	12	8	2	26	10
14.12	7	6	1	15	7	14.24	5	4	0	10	6

Двумерная случайная величина

15. Известен закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).

1. найти законы распределения составляющих и их числовые характеристики (M[X], D[X], M[Y], D[Y]);

1. составить условные законы распределения составляющих и вычислить соответствующие мат. ожидания;

1. построить поле распределения и линию регрессии Y по X и X по Y;

1. вычислить корреляционный момент (коэффициент ковариации) _xy и коэффициент корреляции r_xy.

15.1					15.2
Y \ X	25	30	35		Y \ X	-1	0	1
120	0,05	---	---		-1	---	0,24	0,03
125	0,15	0,3	0,05		1	0,05	0,14	0,05
130	0,05	0,25	0,10		2	0,01	---	0,21
135	---	---	0,05		3	0,02	---	0,25

15.3					15.4
Y \ X	-2	1	3		Y \ X	1	3	5
0	0,01	0,2	---		1	0,01	---	0,03
1	0,21	---	0,18		2	0,15	---	0,12
2	---	0,15	---		4	---	0,25	---
4	---	0,05	0,2		5	---	0,3	0,14
15.5					15.6
X \ Y	1	2	3		X \ Y	4	6	8
0	0,02	---	0,5		2	0,08	---	---
1	---	0,03	---		3	0,12	0,28	---
2	0,08	---	0,15		4	---	0,24	0,16
3	---	0,02	0,2		5	---	0,08	0,04
15.7					15.8
X \ Y	2	3	4		X \ Y	3	6	9
-2	0,05	---	0,08		4	0,075	---	--
-1	---	0,2	---		8	0,125	0,175	---
0	0,03	0,1	0,3		12	---	0,225	0,15
1	0,15	---	0,09		16	---	0,15	0,1
15.9					15.10
X \ Y	0	1	2		X \ Y	95	105	115
2	---	0,01	0,6		90	0,05	---	---
3	0,01	---	0,02		95	0,15	0,2	---
4	0,04	0,05	0,01		100	---	0,35	0,1
5	0,2	0,06	---		105	---	0,1	0,05
15.11					15.12
X \ Y	-1	0	1		X \ Y	150	200	250
-2	0,05	0,11	0,23		18	0,05	---	---
-1	0,03	---	0,02		28	0,15	0,25	---
1	---	0,1	0,2		38	---	0,2	0,15
2	0,24	0,02	---		48	---	0,15	0,05
15.13					15.14
X \ Y	-2	-1	1		X \ Y	5	20	35
-3	0,02	0,2	0,03		100	---	---	0,05
-2	0,04	---	0,05		115	---	0,2	0,15
0	0,05	0,4	---		130	0,15	0,35	---
1	---	0,2	0,01		145	0,1	---	---

15.15					15.16
X \ Y	0	1	2		X \ Y	1	2	3
1	---	0,02	0,08		2	0,01	0,06	0,15
2	0,04	0,31	0,01		4	---	0,02	0,3
3	0,06	0,2	---		6	0,1	---	0,05
4	0,03	0,05	0,2		7	---	0,1	0,21
15.17					15.18
Y \ X	1	2	3		Y \ X	-2	-1	1
0	---	0,15	0,21		-1	0,02	0,04	---
1	0,41	---	0,04		1	0,21	0,15	0,03
2	0,02	0,05	---		2	---	0,06	0,2
3	0,06	---	0,06		3	0,04	---	0,25
15.19					15.20
Y \ X	0,4	0,7	1		Y \ X	1,5	3	4,5
10	0,12	---	---		4	0,08	---	---
20	0,08	0,24	---		7	0,16	0,24	0,08
30	---	0,16	0,24		10	---	0,28	0,12
40	---	---	0,16		13	---	---	0,04
15.21					15.22
Y \ X	2	4	6		Y \ X	55	65	75
1	0,1	---	---		15	---	0,04	0,12
2	0,2	0,3	---		21	---	0,24	0,08
3	---	0,1	0,2		27	0,16	0,2	---
4	---	---	0,1		33	0,12	0,04	---
15.23					15.24
Y \ X	50	60	70		Y \ X	10	20	30
150	0,125	---	---		15	0,1	0,05	0
160	0,1	0,25	0,15		20	0,25	0,15	0,1
170	0,05	0,15	0,1		25	0,15	0,1	0,05
180	---	---	0,075		30	0	0,04	0,01

16. Составить двумерный закон распределения с.в. (X,Y), если известны законы независимых составляющих. Чему равен коэффициент корреляции r_xy?

16.1	X	1	3	4		Y	2	3	5	6
	P	0,2	0,5	0,3		P	0,1	0,3	0,4	0,2

16.2	X	-1	0	1		Y	0	1	2	4
	P	0,3	0,4	0,3		P	0,3	0,5	0,1	0,1

16.3	X	-2	-1	0		Y	-5	-3	0	1
	P	0,5	0,2	0,3		P	0,1	0,3	0,4	0,2

16.4	X	0	1	2		Y	2	3	4	6
	P	0,2	0,7	0,1		P	0,3	0,2	0,1	0,4

16.5	X	-7	-5	-4		Y	-2	-1	0	2
	P	0,3	0,4	0,3		P	0,2	0,4	0,1	0,3

16.6	X	3	5	8		Y	2	3	5	7
	P	0,4	0,2	0,4		P	0,5	0,1	0,3	0,1

16.7	X	3	5	6	7		Y	2	3	5
	P	0,1	0,2	0,4	0,3		P	0,2	0,1	0,7

16.8	X	3	5	8	9		Y	2	4	6
	P	0,2	0,3	0,1	0,4		P	0,7	0,2	0,1

16.9	X	4	6	9	10		Y	2	5	6
	P	0,1	0,5	0,2	0,2		P	0,3	0,4	0,3

16.10	X	0	1	2	3		Y	2	4	7
	P	0,4	0,2	0,3	0,1		P	0,3	0,2	0,5

16.11	X	3	5	7	8		Y	2	4	6
	P	0,2	0,3	0,1	0,4		P	0,4	0,3	0,3

16.12	X	-2	-1	0	2		Y	-3	-2	-1
	P	0,3	0,2	0,2	0,3		P	0,7	0,1	0,2

16.13	X	4	8	12	16		Y	-5	0	5
	P	0,2	0,4	0,3	0,1		P	0,3	0,4	0,3

16.14	X	20	25	30	35		Y	30	40	50
	P	0,1	0,1	0,4	0,4		P	0,2	0,4	0,4

16.15	X	180	190	200	210		Y	-10	0	10
	P	0,2	0,2	0,2	0,4		P	0,3	0,3	0,4

16.16	X	-4	0	4	8		Y	-1	0	1
	P	0,1	0,4	0,4	0,1		P	0,2	0,6	0,2

16.17	X	145	150	155	160		Y	45	50	55
	P	0,3	0,2	0,2	0,3		P	0,5	0,3	0,2

16.18	X	1	2	3	4		Y	2	3	4
	P	0,1	0,2	0,3	0,4		P	0,2	0,3	0,5

16.19	X	15	18	21	24		Y	1	2	3
	P	0,1	0,2	0,3	0,4		P	0,5	0,3	0,2

16.20	X	-8	-4	0	4		Y	10	20	30
	P	0,3	0,2	0,3	0,2		P	0,2	0,5	0,3

16.21	X	-20	-15	-10	-5		Y	2	4	6
	P	0,4	0,4	0,1	0,1		P	0,4	0,4	0,2

16.22	X	4	5	6	7		Y	3	5	7
	P	0,1	0,4	0,4	0,1		P	0,2	0,6	0,2

16.23	X	100	200	300	400		Y	2	4	6
	P	0,2	0,3	0,3	0,2		P	0,3	0,4	0,3

16.24	X	20	40	60	80		Y	-4	0	4
	P	0,1	0,3	0,5	0,1		P	0,5	0,3	0,2