Задача №2.

Дано: параметры элементов схемы (рис.12), т.е. значения R, е и j;

Найти: токи во всех ветвях и напряжения на источнике тока;

Рис.12

Решение.

Выберем рациональный метод решения. Схема содержит В = 11 ветвей, У = 6 узлов, = 2 ветвей с источниками тока и = 3 ветвей е. Для расчета неизвестных токов по ЗК требуется решить систему из К_ЗК = В – В_i = 7 уравнений, по МКТ - К_МКТ = В – (У-1) – В_i = 4, по МУП - К_МУП = У – 1 - В_е = 2. Следовательно, рационально проводить расчет МУП.

1. Схема относится к третьей группе, т.к. ветви е не образуют связного подграфа: 10-я ветвь не имеет общих узлов с 6-ой и 2-ой ветвями. Для применения МУП необходимо преобразовать исходную схему в эквивалентную, в которой ветви е образуют связной подграф. Применим разноску источника ЭДС. Если выполнить разноску по отношению к е₂ или е₆, то в полученной в результате преобразования схеме оставшиеся ветви е не составляют связного подграфа. Целесообразнее разноску источника ЭДС выполнить по отношению к е₁₀.

В результате эквивалентная схема имеет вид (рис.13). Пунктирной линией очерчены две жирные точки, чтобы подчеркнуть, что эти две точки с точки зрения потенциала являются одним узлом. Если эти две точки стянуть в одну, то схема примет вид (рис.14):

Рис.13

Рис.14

Выберем базовый узел. За базовый узел рекомендуется принимать один из узлов, к которым подключены ветви е. Пусть базовый узел – место соединения ветвей е₂ и е₆. Присвоим ему последний номер и его потенциал приравняем нулю, т.е. . Остальным узлам присвоим номера от 1 до 4. Рассчитаем по ЗКН потенциалы узлов, к которым подключены ветви е:

2. Запишем необходимое количество (К_МУП = У – 1 – В_е = 5 -2 -1 = 2) узловых уравнений для расчета неизвестных потенциалов узлов, узловые уравнения можно сформировать только относительно узлов, к которым не подключены ветви е, т.е. для 2 и 4 узлов. Поскольку узлов 5 и потенциал базового узла , то для узла 2:

для узла

В приведенных уравнениях отсутствуют параметры элементов R₁₁ и е₁₀,

включенных последовательно с источником тока j₁₁ (см.замечание 1 п.2 методики расчета).

Решив эти уравнения с учетом найденных значений и в п.1, найдем значения и .

3. Рассчитаем токи ветвей и напряжений на источниках тока. Зададим положительные напряжения токов в ветвях и напряжений на источниках тока (рис.13 или рис.14). По ЗКН напряжений рассчитаем сначала токи в ветвях, содержащих сопротивления и напряжения на источниках тока.

; ; ;

; ; ;

; ;

А затем по ЗКТ значения токов в ветвях е:

для узла 5 i₆ + i₂ + j₅ – i₃ = 0;

для узла 4а (рис.13) i₁₀ + i₈ + j₁₁ = 0;

Если в результате преобразование исходной схемы получена схема рис.14, то расчет i₁₀ проводит по исходной схеме.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М., Гардарики, 2002 г., стр. 55-60

2. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М. Энергоатомиздат, 1989 г.,

стр. 29-35.