4.11. Регуляторы состояния с конечным временем установления.

Объект управления порядка m

(ф.254) x(k+1) = Ax(k)+bu(k)

Этот объект может быть переведен из произвольного начального состояния x(0)

в нулевое конечное x(N)=0 за N=m шагов.

Пусть

(ф.255) u(k) = - Kx(k)

тогда

(ф.256) x(k+1) = [A - Bk]x(k)=Rx(k)

или

(ф.257) x(1) = Rx(0)

x(2) = R²x(0)

..............

x(N) = R^Nx(0)

так как x(N) = 0  R^N = 0

Характеристическое уравнение

(ф.259) det [zE - R] = _m+_m1z+...+₁z^m1+z^m = 0

Из теоремы Кели-Гамильтона следует

(ф.260) _mE+_m1R+...+₁R^m1+R^m = 0

Уравнение (ф.258) выполняется

(ф.261)

тогда характеристическое уравнение имеет вид

(ф.262) det [zE - R] = z^m = 0

Наличие кретного полюса порядка m в точке z=0 являет признакомся системы с

конечным временем установления.

Апериодический регулятор можно получить задавая k_i=- a_i то есть

(ф.263) u(k) = [a_m a_m1 ... a₁ ]x(k)

4.12. Наблюдатели состояния.

Поскольку все переменные состояния x(k) не могут быть непосредственно

измерены, их следует определять с использованием измеряемых велечин.

Пусть объект

(ф.264) x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

(ф.265) y(k) = Cx(k)

Могут быть измерены только u(k) и y(k), а x(k) - наблюдаемы.

(рис.33)

Наблюдатель Льюинбергера.

Когда процесс сойдется, состояния модуля будут повторять состояния объекта.

Если используется полная модуль объекта, то наблюдатель называется эквива-

лентным.

Матрица Н должна выбираться так, чтобы вектор x^(k) асимптомически сходился

к x(k) при k

Уравнение наблюдателя:

(ф.266) x^(k+1) = Ax^(k)+Bu(k)+He(k) = Ax^(k)+Bu(k)+H[y(k) - Cx^(k)]

Ошибкa состояния

(ф.268) (k+1) = x(k+1) - x^(k+1)

(ф.269) (k+1) = [A - HC] (k)

Для сходимости процесса необходимо

(ф.270)

то есть (ф.269) должна описывать асимптотически устойчивый процесс.

(ф.271) det [zE - A+HC] = _m+_m1z+...+z^m=0

должен иметь корни внутри единичного круга нa Z

Условие выполняется при соответствующем выборе Н .

Способы определения матрицы н.

а) Определение характеристического уравнения в соответствии с методами синте-

за регулятора состояния с заданным характеристическим уравнением.

Уравнение наблюдателя:

(ф.272) x^(k+1) = [A - hc^T]x^(k)+bu(k)+hy(k)

Каноническая форма наблюдаемости:

(ф.273)

(ф.274) h_i = _i - a_i ; i = 1, ..., m

где  _i - желательные коэффициенты характеристического уравнения.

б) Конечное время установления

Задав h_i = -a_i , получаем регулятор с минимальным конечным временем установле-

ния, обладающим апериодическим характером переходных процессов.

в) Минимизация квадратичного критерия качества

(ф.275)

Рекуррентные уравнения

(ф.276)

При практической реализации наблюдателей наличие шумов, присутствующих в

выходной переменной, ограничивает теоретически достижимое время установле-

ния переходных процессов.