Выбор такта квантования для апериодических регуляторов.

Начальное значение управляющей переменной u(0) обратно пропорционально

сумме коэффициентов числителя модели объекта. Значение этой суммы возра-

стает с увеличением такта квантования. Таким образом квантования можно опре-

делить, задавая допустимый диапазон отклонения управляющей переменной.

На практике могут быть предложены следующие рекомендации:

(ф.233) T₀ /T_  0,36 или T₀ /T₉₅  0,18

T_ - сумма постоянных времени объекта управления,

T₉₅ - время достижения выходной координатой заданой велечины.

4.9. Регуляторы состояния

Уравнение объекта в пространстве состоянии

(ф.234) x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

x(0) - начальные условия.

Необходимо построить регулятор формирующий вектор u(k) в зависимости от век-

тора x(k), переводящий систему в конечное состояние x(N) 0 и минимизирующий

критерий

(ф.235)

Матрицы:

S - положительная, симметричная и полуопределенная.

Q - положительная, симметричная и полуопределенная.

R - положительная, симметричная и определенная.

то,есть

(ф.236) x^TSx  0 ; x^TQx  0 ; u^TRu > 0

Следует иметь в виду, что лишен смысла случай

S = 0 Q = 0.

Решение поставленной задачи было дано Калманом.

Замечание.

а) В соответствии с принципом максимума, каждый отрезок оптимальной траекто-

рии также является оптимальным.

б) Из уравнений динамики следует, что упраление u(k) определяет последующие

значения состояний x(k+1), x(k+2), .....

Оптимальный сигнал управления u(k) можно получить путем обратного расчета.

Получаем оптимальный регурятор с постоянными параметрами:

(ф.237) U⁰(k) = -kx(k)

k - матрица коэффициентов

(ф.238) k = (R+B^TPB)^1B^TPA

P = P₀ - решение стационарного матричного уравнения Риккати

(ф.239) 

Решение м.б. получено с помощью рекурректного соотношения

(ф.240)

Начальные условия

(ф.241) P_N = Q

Система уравнений замкнутой системы

(ф.242) x(k+1) = [A - Bk]x(k)

Характеристическое уравнение

(ф.243) det [zE - A+Bk] = 0

Система является асимптотически устойчивой, если объект обладает свойством

полной управляемости. Если это не так, то неуправляемая часть системы должна

иметь по крайней мере асимптотически устойчивые собственные значения.

4.10.Регуляторы состояния с заданным характеристическим уравнением.

Динамика объекта:

(ф.244) X(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

Управление:

(ф.245) u(k) = - Kx(k)

Динамика объекта может быть так изменена с помощью обратной связи по вектору

состояния, что полосы замкнутой системы

(ф.246) x(k+1) = [A - BK]x(k)

или коэффициенты характеристического уравнения

(ф.247) det [zE - A+Bk] = 0

будут равны заданным.

Уравнение состояния приводится к канонической форме управляемости

(ф.248)

Уравнение обратной связи

(ф.249) u(k) = - k^Tx(k) = - [k_m k_m1 ...k₁ ]x(k)

Подставляя в (ф.248) получаем

(ф.250)

Характеристическое уравнение:

(ф.251) det [zE - A+Bk] = (a_m+k_m)+(a_m1+k_m1)z+...+(a₁+k₁)z^m1+z^m =

= _m+_m1+...+₁z^m1+z^m=0

Коэффициент управления : k_i = _i - a_i , i =1,2,...,m

При синтезе по заданному расположению полюсов z_i , i=1, ..... , m

необходимо выбрать желаемые полюса замкнутой системы:

(ф.253) det [zE - A+Bk] = (z-z₁)(z-z₂)....(z-z_m)

После этого вычисляют коэффициенты характеристического уравнения системы

_i и коэффициенты управления k_i

Рассмотренный метод задания полюсов обеспечивает лишь желаемое поведение

изолированных собственных движений замкнутой системы. Данный подход не учи-

тывает взаимного влияния и перирования внешних возмущений.