3. Ортогональные матрицы и их свойства.

Определение 1. Матрица A называется ортогональной матрицей, если обратная ей матрица A^-1 совпадает с матрицей A.

Определение 1 равносильно матричному равенству

A^t A =E. (1)

Свойство 1. Если A ортогональная матрица, то A^t A=E, A^t A=E ,т.е.

Доказательство. Свойство следует из определения 1, и определений произведения и равенства матриц. 

Свойство 2. Если A ортогональная матрица, то det A =1

Доказательство. Переходя в равенстве (1) к определителям получим  A ²= A^t A  =E = 1,  A = 1 . 

Теорема 1. Пусть T матрица перехода от ортонормированного базиса v= (v₁, v₂,…, v_n) к базису u евклидова пространства. Базис u ортонормирован тогда и только тогда, когда матрица Т ортогональна.

Доказательство. 1. Пусть u = (u₁, u₂,…, u_n) ортонормированный базис. Рассмотрим матрицу Грама базисов. G = G(v₁, v₂,…, v_n), G' = G(u₁, u₂,…, u_n). Известна формула

G' = T^t G T. (2)

Так матрица Грама ортонормированного базиса единичная, то указанного равенства получаем T^t T =E. Поэтому матрица ортогональна.

2. Обратно. Пусть матрица T ортогональна. Так как матрица G - единичная, то из равенства (2) получим, что матрица G' единичная. Тогда базис u - ортонормированный.

4. Ортогональные операторы и их свойства.

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т.е. для любых a, b E (Aa, Ab) = (a, b).

Свойство 1. Ортогональные операторы не меняют норму векторов, т.е. Aa = a.

Доказательство. Aa = . 

Свойство 2. Ортогональные операторы не меняют косинусы углов между векторами.

Доказательство. 

Свойство 3. Ортогональные операторы не меняют ортогональность векторов.

Доказательство. Если векторы a, b ортогональны, то (a, b)=0. По свойству 1 получим (Aa, Ab) = (a, b) = 0. Тогда векторы Aa, Ab ортогональны. 

Свойство 4. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Доказательство. Пусть e = (e₁, e₂,…, e_n) - ортонормированный базис. Тогда (Ae_i, Ae_j) = (e_i, e_j) = 1, если i=j, =0, если ij. Тогда базис (Ae₁, Ae₂,…, Ae_n) - ортонормированный базис. 

Свойство 5. Ортогонального оператора A имеет обратный оператор A^-1, и A^-1 = A^* .

Доказательство. Имеем по определению ортогонального и сопряженного операторов (Aa, Ab) = (a, A^*Ab) = (a, b). Отсюда получим (a, (A^*Ab)- b) = 0. Отсюда получим, что вектор (A^*Ab)- b ортогонален любому вектору a пространства и поэтому равен нулевому вектору. Тогда (A^*Ab) = b, и это равенство выполняется для любого b E. Тогда оператор A^*A тождественный. 

Свойство 6. В ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора является ортогональной матрицей.

Доказательство. По выше доказанному A^*A - тождественный оператор. Если A, A^* матрицы линейных операторов A, A^*, то получим A^*A = E. Отсюда матрица A ортогональная. 

Свойство 7. Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - матрица оператора A в базисе v. Пусть ₀ - корень характеристического уравнения A - E = 0. Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - ₀E)X = 0,

где X - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X₀. Из равенства (A - ₀E)X₀ = 0 следует A X₀ = ₀X₀, Перемножая полученные равенства, находим

Так как A^t A =E и , то .