5.Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Величина называется скалярным произведением векторов , .

Обозначение: , :

Очевидно, справедливы соотношения:

.

Свойства скалярного произведения

1. (, ;

2. (+;

3. λ (, (λ, , λ ;

4. ( , причём (.

Доказательство свойств скалярного произведения

1. Справедливость следует из определения скалярного произведения.

2. (+, ,

3. (λ, λ

4. Очевидно.

Выпишем полезные результаты:

;

;

.

Пусть известны координаты векторов , .

, .

Вычислим скалярное произведение :

(, ,

так как

6.Векторное произведение векторов и его свойства

Определение 1. Векторы образуют правую тройку, если кратчайший поворот совершается против часовой стрелки при наблюдении из конца вектора . В противном случае векторы образуют левую тройку (см. рисунок).

- правая тройка - левая тройка

Определение 2. Векторным произведением векторов называется вектор , такой что

1. 

2. ,

3. - правая тройка векторов.

Обозначение:

Свойства векторного произведения

1. .

2. .

3. .

4. .

Справедливость свойств 1, 2, 4 следует из определения векторного произведения. Свойство 3 доказано в следующем пункте.

Пусть известны координаты векторов :

, .

Утверждение.

Доказательство.

Очевидно: ;

; ;

Вычислим векторное произведение :

.

▲

Замечания.

1. Утверждение справедливо для случая, когда – правая тройка векторов. Везде, где это специально не оговаривается, рассматриваем декартовы системы координат с правой ориентацией тройки

2. ,

где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах :

S

7.Смешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Величина называется смешанным произведением векторов .

Утверждение.

где V – объём параллелепипеда, построенного на векторах .

Доказательство. Докажем для случая , когда - правая тройка.

Имеем ( см. рисунок ):

Здесь H – высота параллелепипеда;

– площадь основания;

φ – угол между вектором и высотой.

V

φφφ

H

▲

Назовём циклической перестановкой тройки перестановку вида:

Справедливо утверждение:

Циклическая перестановка тройки не меняет её ориентации.

Следствие. .

Поэтому смешанное произведение векторов обозначают просто:

.

Пусть известны координаты векторов :

, , .

Утверждение (доказать самостоятельно).

.

Следствия.

1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда

2. Векторы образуют правую тройку тогда и только тогда, когда

Докажем свойтсво 3 векторного произведения.

Лемма. Пусть выполнено (, Тогда

Доказательство. – любой вектор. Возьмём . Имеем: (, , но отсюда

▲

Утверждение.

Доказательство. Надо доказать:

Пусть – произвольный вектор. Имеем:

В силу леммы получаем, что утверждение справедливо.

▲