Лекция 9

Аналитическая геометрия. Векторная алгебра

1. Основные определения.

Линейные операции над векторами

Вектор – направленный отрезок, точка A – начало отрезка, точка В – конец отрезка:

A

B

Будем обозначать векторы :

Определение 1. Вектор является нулевым вектором, если точки A и B совпадают: .

Определение 2. Векторы называются коллинеарными, если, будучи приведены к общему началу, они лежат на одной прямой:

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение 3. Векторы называются компланарными векторами, если, будучи приведены к общему началу, они лежат в одной плоскости:

Определение 4. Длиной вектора называется длина отрезка AB: = AB.

Определение 5. Векторы называются равными, если

1. ;

2. направления векторов совпадают.

Определение 6. (суммы векторов)

Суммой векторов называется вектор (обозначается ), который строится либо по правилу параллелограмма, либо по правилу треугольника:

1. правило параллелограмма:

2. правило треугольника:

Определение 7. (произведения вектора на число)

Вектор называется произведением вектора на действительное число α (обозначается ), если

1. при α=0,

2. , сонаправлены при α>0,

3. , сонаправлены при α<0.

Свойства линейных операций над векторами

1. ;

2. ( =

3. α(;

4. (α+β) = α +β ;

5. (αβ) = α( ;

6. + = ;

7. +() = ;

8. 1 =.

Справедливость свойств 1÷8 следует из определений линейных операций над векторами. Докажем, например, справедливость свойства 2:

2. Линейно зависимые и независимые системы векторов

Определение 1. Вектор вида называется линейной комбинацией векторов .

Здесь некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно зависимой системой (ЛЗС), если (:

. (*)

Если же равенство (*) может быть выполнено только при = 0, то система векторов называется линейно независимой системой (ЛНС).

Утверждение 1. Система векторов является линейно зависимой системой тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других векторов.

Доказательство.

1. Пусть – линейно зависимая система. Тогда :

.

Пусть для определённости . Тогда = — — ,

то есть вектор может быть записан в виде линейной комбинации других векторов системы.

2. Пусть хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других. Пусть для определённости это справедливо для вектора :

= — — .

Перепишем:

— — = .

Справедливо равенство (*), Следовательно, система векторов является линейно зависимой системой.

▲

Утверждение 2. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.

Доказательство. Пусть для определённости = .

В этом случае справедливо равенство (*) при :

1++ 0.

Следовательно, система является линейно зависимой системой.

▲

Утверждение 3. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть для определённости векторы , входящие в систему , образуют линейно зависимую систему. Тогда справедливо равенство:

,

причём .

Следовательно, справедливо равенство:

,

в котором . Система является линейно зависимой.

▲

Утверждение 4. Векторы образуют линейно зависимую

систему тогда и только тогда, когда – коллинеарные векторы.

Доказательство.

1. Пусть векторы коллинеарны. Следовательно, : , отсюда, в силу утверждения 1, система является линейно зависимой системой.

2. Пусть векторы образуют линейно зависимую систему. Тогда, в силу утверждения 1, : . Следовательно, векторы являются коллинеарными.

▲

Утверждение 5. Векторы образуют линейно зависимую систему тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

1. Пусть векторы образуют линейно зависимую систему . В силу утверждения 1, хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других. Пусть, для определённости, :

Следовательно, по определению получаем, что векторы являются компланарными.

2. Пусть - компланарны.

2a). Среди есть коллинеарная пара. В силу утверждения 4 эта пара образует линейно зависимую систему. В силу утверждения 3 векторы образуют линейно зависимую систему.

2б). Среди векторов нет коллинеарной пары. Приведём векторы к общему началу:

Достроим параллелограмм с диагональю . Получаем: . В силу утверждения 1 система является линейно зависимой системой.

▲

Утверждение 6. Любые 3 вектора на плоскости образуют линейно

зависимую систему.

Доказательство утверждения 6 проводится аналогично тому, как это

было выполнено для утверждения 5.

Утверждение 7. Любые четыре вектора в пространстве

образуют линейно зависимую систему.

Доказательство.

1. Пусть среди векторов нет некомпланарной тройки. Приведём векторы к общему началу, построим параллелепипед с диагональю и рёбрами, параллельными векторам

Получили: . В силу утверждения 1 система является линейно зависимой.

2. Пусть среди векторов содержится компланарная тройка. Тогда в силу утверждения 3 система является линейно зависимой.

▲