- •Глава 2. Статика
- •Глава 3. Кинематика точки
- •2.1 Скорость и ускорение в декартовой системе координат.
- •2.2 Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат
- •2.3. Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения.
- •Глава 4. Кинематика твердого тела
- •4.2.Произвольное движение твердого тела
- •4.2.1 Описание ориентации тела. Направляющие косинусы.
- •4.2.2. Описание ориентации с помощью углов Эйлера, самолетных (корабельных) углов.
- •Глава 5. Фундаментальные законы механики.
- •Глава 6. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).
- •Глава 7. Механика Лагранжа
Глава 3. Кинематика точки
Положение точки в системе отсчета задается вектором положения как функцией
времени, проведенным в точку из некоторого неподвижного в системе отсчета центра A:
А
Траекторией называется кривая, по которой движется точка, скоростью – производная по
времени вектора положения R , ускорением - производная от вектора скорости
. (3.1)
Из определения производной вектора следует, что вектор скорости направлен по
касательной к траектории. Собственно говоря, формулами (3.1) вся кинематика точки и
исчерпывается; все технические трудности связаны лишь с выбором системы координат.
Упражнение 1. Исходя из определения производной вектор-функции от скалярного
аргумента показать, что
1) (производная скалярного произведения)
2) (производная векторного произведения
3) Если , то (продифференцировать квадрат модуля, равный ).
2.1 Скорость и ускорение в декартовой системе координат.
В декартовой системе вектор положения задается в виде , где -
координаты вектора, а , – ортонормированный базис, т.е. базисные векторы
единичные и взаимно-перпендикулярные. В этом случае координаты равны проекциям
вектора на оси, задаваемые базисными векторами: .
Векторы скорости и ускорения равны
2.2 Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат
Вектор положения точки задается как функция цилиндрических координат r,,z :
(3.2)
В цилиндрической системе координат, как и в любой другой системе, вводятся базисные
векторы
(3.3)
Z
z
r Y
X
Базисные векторы направлены по касательным к так называемым координатным линиям –
линиям, получающимся при изменении только одной координаты.
Использование единичных базисных векторов удобно тем, что координаты
вектора в единичном базисе имеют ту же размерность, что и сам вектор.
Дифференцируя (3.2), получим с учетом (3.3)
= (3.4)
Дифференцируя (3.4) и учитывая, что , будем иметь
(3.5)
Упражнение 2. Найти скорость и ускорение точки, движущейся по цилиндру .
(винтовая линия)