3.2. Расчет погрешности при косвенных измерениях, если условия эксперимента невоспроизводимы

Рассмотрим расчет погрешности при косвенных измерениях, если практически невозможно воспроизвести прежние условия проведения эксперимента. В этом случае после проведения многократных прямых измерений величин x, у, z, … для получения окончательного результата, т. е. áfñ, f, _f , необходимо выполнить действия в следующем порядке:

1) для каждого из значений x_i, у_i, z_i, … вычислить значение f_i косвенно определяемой величины:

f_i = f(x_i, y_i, z_i, …); (20)

2) определить среднее значение измеряемой величины:

; (21)

3) вычислить погрешность каждого измерения:

f_i = áfñ  f_i, i = 1, …, n; (22)

4) рассчитать случайную погрешность измерений:

f_сл ; (23)

5) вычислить погрешность, вносимую различными инструментами в абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины (назовем формально эту погрешность инструментальной f_ин):

. (24)

При этом после нахождения частных производных в полученное выражение следует подставить наименьшие из измеренных значений x, у, z, …, приводящие к наибольшей погрешности f_ин;

6) определить абсолютную погрешность:

f = f_сл + f_ин; (25)

7) рассчитать относительную погрешность:

100 %; (26)

8) произведя округление результатов расчета, записать окончательный результат измерения в виде:

(27)

3.3. Расчет погрешности при косвенных измерениях с помощью формул численного дифференцирования

Абсолютную погрешность f косвенно измеряемой величины f можно определить без непосредственного вычисления частных производных, используя формулы численного дифференцирования (см. прил.5). Полученная на основе выражения (12) формула для нахождения f примет вид:

(28)

Заметим, что

4. Пример измерения и расчета погрешности

Цель измерения: определить объем твердого тела, имеющего форму цилиндра.

Объем V тела можно измерить непосредственно, погружая тело в мензурку с водой. Однако будем считать, что нет возможности прямыми методами измерить объем тела (нет подходящей мензурки). тогда объем цилиндра вычислим по формуле:

, (29)

где d и h  диаметр основания и высота цилиндра соответственно.

Из формулы (29) видно, что необходимы прямые измерения диаметра d основания и высоты h цилиндра.

1) Проведем прямые измерения.

При измерении диаметра d основания цилиндра штангенциркулем с ценой деления в 0,1 мм в пяти различных положениях были получены следующие зна­чения (в мм): 39,6; 39,8; 39,5; 39,6; 39,7.

Проведем математическую обработку результатов прямых измерений диаметра d основания цилиндра:

а) среднее арифметическое значение диаметра

ádñ = = 39,64 мм; (30)

б) абсолютная погрешность многократных измерений диаметра

d =  =

= 0,188 мм  0,19 мм; (31)

в) относительная погрешность измерений _d = (0,19/39,64)100 % = 0,48 %;

г) окончательный результат измерения диаметра цилиндра записывается в виде:

d = (39,64  0,19) мм с _d = 0,48 %. (32)

Измерения штангенциркулем высоты цилиндра в пяти различных местах в пределах инструментальной погрешности в 0,1 мм не обнаружили непараллельности оснований цилиндра (это указывает на малые случайные погреш­ности h_cл < h_ин).

Результат измерения запишем в виде:

h = (52,9  0,1) мм с _h = 0,19 %. (33)

Число  = 3,14  0,005 с _ = 0,16 % (в соответствии с прил. 3).

2) Действительное значение объема подсчитаем по формуле (29), подставив в нее средние значения áπñ, ádñ, áhñ:

(34)

3) Абсолютную погрешность DV найдем двумя способами.

1 способ. Используя формулу (12), запишем

. (35)

Найдем частные производные от V по каждой измеренной величине и подставим их в формулу (35):

(36)

Расчет абсолютной погрешности даст результат:

(37)

2 способ. В соответствии с формулой (28)

(38)

Подставим числовые значения в формулу (38) и получим:

(39)

Как видно, вычисленные разными способами значения абсолютной погрешности (37) и (39) с точностью до двух значащих цифр совпадают. С учетом правил округления (см. прил. 2) абсолютная погрешность измерения объема

V = 8,5∙10 ^–7 м³. (40)

4) Относительная погрешность результата

(41)

5) Окончательный результат измерения объема цилиндра с учетом правил округления (см. прил. 2) запишем в виде:

V = (6,525  0,085)10 ^–5 м³ с _V = 1,3 %. (42)