2.9. Задачи на составление уравнения плоскости
Рассмотрим несколько задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, удовлетворяющей тем или иным условиям. Решения всех этих задач сводятся к записи условия компланарности трех векторов, которое состоит в равенстве нулю их смешанного произведения (см. п. 2.5).
Задача 1.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через 3 данные точки
,
,
.
Решение.
Обозначим
через
произвольную ("текущую") точку
плоскости. Точка
М
будет
лежать в одной плоскости с точками
тогда и только тогда, когда векторы
,
,
будут лежать в одной плоскости
(компланарны). Записываем условие
компланарности:
или в координатах (см п. 2.5)
.
При решении остальных задач для краткости не будем выписывать выражение смешанного произведения в виде определителя третьего порядка.
Задача 2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через две точки
и
и
перпендикулярной данной плоскости
.
Решение.
Пусть
– текущая
точка нужной нам плоскости. Она будет
принадлежать
этой плоскости тогда и только тогда,
когда векторы
,
и нормальный
вектор
заданной плоскости
будут
компланарны. Поэтому искомое уравнение
записывается
в виде следующего условия компланарности:
.
Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой (заданные прямые не параллельны).
Решение.
Пусть
M
– текущая
точка плоскости, а М0
– любая точка первой прямой,
и
– направляющие векторы заданных прямых.
Ясно, что должны быть компланарны векторы
,
и
.
Искомое уравнение:
.
Задача 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0 и данную прямую.
Решение.
Здесь
дело сводится к записи условия
компланарности трех векторов:
(где М
– текущая точка плоскости),
(где
– какая-нибудь точка заданной прямой)
и
–
направляющего
вектора прямой. В результате приходим
к уравнению плоскости:
.
Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости.
Решение.
Эта
задача похожа на Задачу 2, только надо
заменить вектор
на
направляющий
вектор
заданной прямой. В итоге получаем искомое
уравнение:
.
2.10. Поверхности второго порядка
-
Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
. (*)
Например, уравнение
определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.
-
Канонические уравнения поверхностей второго порядка. При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое уравнение вида (*) может быть преобразовано к каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей даны в табл. 1, а их схематические изображения приведены на рис. 32, а–к. Ниже описаны наиболее важные свойства некоторых поверхностей второго порядка.
Эллипсоид
(рис. 32, а).
Сечением
эллипсоида любой плоскостью, параллельной
координатным плоскостям, является
эллипс (в частном случае круг). Координаты
точек эллипсоида удовлетворяют
неравенствам
,
,
.
В частном
случае
имеем эллипсоид вращения, получающийся
при вращении
эллипса
,
лежащего в плоскости xOz,
вокруг
оси Oz.
Гиперболоиды (рис. 32, б, в). Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси Oz – гиперболы (для однополостного гиперболоида в сечении может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости хОу – эллипсы.
Двуполостный
гиперболоид состоит
из
двух частей, точки которых расположены
соответственно при
и
.
Конус (рис. 32, г) имеет вершину в начале координат. Поверхность конуса состоит из прямых линий (эти линии называются образующими), проходящих через его вершину и через точки эллипса с полуосями а и b, плоскость которого перпендикулярна оси Oz и находится на расстоянии с от начала координат.
Эллиптический
параболоид (рис. 32,
д).
Сечения,
параллельные оси Oz
–
параболы;
сечения, параллельные плоскости хОу
–
эллипсы.
Точки эллиптического параболоида
расположены в области
.
В частном
случае
имеем
параболоид вращения, порождаемый
вращением
параболы вокруг оси Oz.
Гиперболический параболоид (рис. 32, е). Сечения, параллельные плоскостям yOz и xOz – параболы; сечения, параллельные плоскости хОу – гиперболы (и пара пересекающихся прямых).
Цилиндры (рис. 32, ж, з, и). Поверхности цилиндров состоят из прямых линий (образующих), параллельных оси Oz. Сечениями (перпендикулярными оси Oz) эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.