1. Аналитическая геометрия на плоскости

1.1. Координаты точки на прямой и на плоскости.

Расстояние между двумя точками

• Числовая ось. Интервалы. Числовой осью называется прямая, на которой заданы: а) некоторая точка О – начало отсчета; б) направление, которое считается положительным; в) единичный отрезок (масштаб).

Каждое действительное число изображается точкой числовой оси (число х изображается точкой А). Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

Число х называется координатой точки А. Расстояние от начала отсчета до точки А равно |х|, расстояние между двумя точками и (т.е. длина отрезка АВ) равно .

Пример 1. Для точек А(2), В(-3) имеем: длина отрезка АВ равна , серединой отрезка АВ является точка , т.е. точка .

Окрестностью точки числовой оси называется любой интервал, содержащий эту точку. В частности, -окрестность точки – симметричный интервал вида или множество чисел х, удовлетворяющих условию (где – заданное положительное число).

■ Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается фиксированной точкой О (называемой началом координат) и парой пересекающихся в этой точке взаимно перпендикулярных прямых (называемых осями координат). Каждая из этих осей рассматривается как числовая ось с началом отсчета в точке О.

Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами действительных чисел – координатами точек (см. рис. 1). Координата х называется абсциссой, а координата у – ординатой точки.

■ Расстояние d между двумя точками плоскости и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

■ Полярные координаты. Рассмотрим произвольную (фиксированную) точку плоскости О ("полюс") и проведем из нее полупрямую, называемую полярной осью (с определенным масштабом). Зададим направление отсчета углов вокруг точки О против часовой стрелки. Тогда каждой точке М плоскости соответствуют два числа: полярный радиус и полярный угол , где представляет собой расстояние от точки М до полюса О, а – угол, образуемый полярной осью с отрезком ОМ (рис. 2).

Эти числа и называются полярными координатами точки М. При этом полярный радиус определен однозначно, а значение полярного угла определяется с точностью до слагаемого (где n – любое целое число).

При этом у точки О полярный радиус , а полярный угол не имеет определенного значения (ему можно приписать любое значение).

Чтобы соответствие между точками плоскости (отличными от полюса) и парами полярных координат было взаимно однозначным, иногда ограничивают возможные значения полярного угла ; например, часто берут или .

Декартовы координаты точки (х, у) выражаются через полярные координаты той же точки по формулам

,

(здесь считается, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс). Например, для точки М на рис. 2 значения полярных координат , , значения декартовых координат

, .

Для выражения полярных координат через декартовы пользуются формулами

, .

Чтобы найти из нее значение , нужно учитывать, в какой координатной четверти лежит рассматриваемая точка М(x, y).

Пример. Найти полярные координаты точки .

Решение. Находим ; . Так как точка М лежит во второй четверти, то угол .

Ответ: .