2.3. Скалярное произведение

• Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое мы будем обозначать ), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Можно использовать проекции векторов: скалярное произведение векторов равно произведению на проекцию вектора на ось вектора или произведению на проекцию вектора на ось вектора :

.

Если и – ненулевые векторы, то при остром угле между ними скалярное произведение положительно, а при тупом угле – отрицательно.

Скалярное произведение векторов называется произведением потому, что оно обладает алгебраическими свойствами произведения чисел:

; ;

.

Эти свойства дают возможность перемножать векторные многочлены по обычным правилам алгебры. Отличие же от произведения чисел состоит, в частности, в том, что бессмысленно говорить о скалярном произведении трех (и более) векторов.

• Физический смысл скалярного произведения. Допустим, что вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора . Тогда работа этой силы равна (где – угол между направлениями силы и перемещения), т.е. работа равна скалярному произведению векторов и .

• Скалярный квадрат вектора. Рассмотрим скалярное произведение . Оно называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Имеем

. (2)

Таким образом, скалярный квадрат вектора – неотрицательное число (равное квадрату модуля вектора). В частности, для ортов осей декартовой системы координат имеем (а ).

• Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы и , то

. (3)

• Угол между двумя векторами и можно найти из соотношения

. (4)

• Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

(5)

или, в координатах,

. (6)

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат (т.к. ):

(если какая-нибудь из координат вектора равна нулю, то и соответствующая координата вектора равна нулю).

Например, векторы и коллинеарны, так как выполняется условие .

• Нахождение проекции одного вектора на направление другого. Проекция вектора на направление вектора находится по формуле , а проекция на направление – по формуле .

• Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы, образованные вектором с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда числа , , называются направляющими косинусами вектора . Очевидно,

, , ;

отсюда ясно, что координатами произвольного единичного вектора служат его направляющие косинусы:

.

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

• Проекция вектора на ось. Пусть заданы ось l, имеющая орт (единичный направляющий вектор) , и некоторый вектор . Если , , – направляющие косинусы орта , то проекцию вектора на ось l можно найти по формуле

(см. также стр. ___).

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если длины этих векторов соответственно равны 5 и 4, а угол между ними равен 60º.

Решение. По определению скалярного произведения (формула (1)) .

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что векторы и перпендикулярны.

Решение. Находим скалярное произведение по формуле (3): . Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы перпендикулярны.

Пример 3. Найти угол между векторами и .

Решение. Воспользуемся формулой (4):

;

отсюда .

Пример 4. В треугольнике ABC с вершинами А(1,0,-1), В(2,-1,-5), С(3,-2,4) найти проекцию стороны АВ на сторону АС.

Решение. Находим векторы:

, . Искомая проекция равна (отрицательный знак проекции свидетельствует о том, что – тупой).

Пример 5. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами равен 60º и , .

Решение. Одна из диагоналей параллелограмма изображается вектором , а другая – вектором .

Найдем скалярный квадрат . (здесь мы воспользовались формулой (2)); аналогично . Из формулы (2) следует, что ; аналогично .

Ответ: длины диагоналей равны и .