2. Аналитическая геометрия в пространстве

2.1. Системы координат в пространстве

• Декартова прямоугольная система координат. Эта система координат определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей (пересекающихся в одной точке О – начале координат) и единицы масштаба. Оси обычно обозначают Ox, Oy, Oz. Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z – координатами точек.

Замечание. Различают правые и левые системы декартовых координат.

• Расстояние d между двумя точками пространства и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

Пример 1. Расстояние между точками A(-3, 1, 5) и B(-2, 0, 4) равно , а длина отрезка ОА равна .

• Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и . Координаты точки D(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AD : DB = λ, определяются по формулам

, , .

Координаты середины отрезка (т.е. точки С(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AС : СB = λ = 1) находятся по формулам

, , .

Пример 2. Найти точку D(x, y, z), делящую отрезок АВ в отношении AD : DB = 1,5, если даны координаты точек A(-2, 1, 4) и B(3, 6, -1).

Решение. Находим , , .

Ответ: D(1, 4, 1).

Векторная алгебра

2.2. Векторы

• Понятие вектора. Различают скалярные величины (такие, как масса, температура, плотность) и векторные величины (сила, скорость, ускорение и т.п.). Скалярные величины охарактеризованы одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Для векторной величины одного числа недостаточно: они обладают еще и направленностью. Для выражения таких величин служат геометрические векторы.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Векторы обозначаются либо (точка А – начало вектора, точка В – конец вектора), либо . Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается (или ).

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

В геометрии не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

• Произведение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий трем условиям: 1) модуль вектора равен ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) и направлены одинаково, если и противоположно, если (если , то , т.е. представляет собой нулевой вектор).

Вектор или называется противоположным вектором по отношению к вектору .

• Сумма векторов. Суммой векторов и называется вектор , получаемый либо по правилу параллелограмма (рис. 24, а), либо по правилу треугольника (рис. 24, б). При этом подразумевается, что векторы и предварительно параллельным переносом должны занять положение, показанное на рисунках.

Рис. 24.

Сумму произвольного числа векторов можно построить по следующему правилу: приложим вектор к концу вектора , вектор – к концу вектора и т.д.; тогда сумма n векторов будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора ("правило многоугольника" или "правило замыкающей").

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности . Кроме того, для любого вектора , , также и .

• Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , для которого (см. рис. 25, где векторы и приведены к общему началу).

Можно рассматривать разность векторов и как сумму вектора и вектора , противоположного вектору : .

• Проекция вектора на ось. Углом между осью l (направленной прямой) и вектором называется угол кратчайшего поворота оси до совмещения ее направления с направлением вектора (аналогично определяется угол между двумя векторами).

Проекция вектора на ось находится по формуле

(в случае тупого угла между вектором и осью проекция оказывается отрицательной).

• Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Обозначим через , , единичные векторы (или орты) осей декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Любой вектор пространства единственным образом представляется в виде такой линейной комбинации векторов , , :

. (*)

Наряду с (*) используется и такая запись:

.

Тройку векторов , , называют координатным базисом пространства, а представление (*) – разложением вектора по базису.

Числа X, Y, Z – коэффициенты этого разложения – называются координатами вектора ; они определяются вектором однозначно, а именно, они представляют собой проекции вектора на оси координат.

Замечание. Разложение векторов можно производить не только по ортогональному базису , , , но и по любым трем некомпланарным (т.е. не лежащим в одной плоскости) векторам (если вектор лежит на плоскости, то в качестве базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов).

• Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Если даны начало вектора и его конец , то имеем

или

.

В частном случае, когда начало вектора находится в начале координат, имеем , т.е. в этом случае координаты вектора совпадают с координатами конца вектора (отметим, что вектор называют радиусом-вектором точки В).

Модуль вектора (как и длина отрезка АВ) находится по формуле

.

В частности, модуль вектора с началом в точке О равен .

Пример 1. Пусть начало вектора расположено в точке A(-3, 1, 5), а конец – в точке B(-2, 0, 4). Тогда вектор или же , а модуль этого вектора ; радиус-вектор точки В равен , а .

• Координаты суммы векторов равны суммам одноименных координат слагаемых: если , , то .

Аналогично ; кроме того, координаты вектора равны произведениям координат вектора на число :

.

Пример 2. Найти координаты вектора , если , .

Решение. Находим , , поэтому

.