2.3 Ортогональные проекции и система

прямоугольных координат

К

π₁

ак видно из рис. 12. в выбранной системе плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃) в совокупности с совмещенной с ней системой плоскостей координат ( XOY, XOZ , ZOY ), появилась возможность определять положение точки в пространстве тремя координатами, а именно, (x), (y) и (z). Координаты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Система координат Декарта может быть прямоугольной и косоугольной. Будем дальше рассматривать только прямоугольную систему.

Рис. 12.

Совмещённая система плоскостей проекций

(π₁, π₂, π₃) и плоскостей координат( XOY, XOZ,ZOY).

Римскими цифрами обозначены номера октантов.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь частей (октантов). Нумерация октантов показана на рис.12.

Первый октант (I) имеет все три положительные координаты (+x,+y, +z). Второй октант (II) имеет одну отрицательную и две положительные координаты (+x,-y, +z). Третий октант (III) имеет одну положительную и две отрицательные координаты (+x,-y, -z) . Четвертый (IV) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты (+x,+y, -z). Пятый (V) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты (-x,+y, +z). Шестой октант (VI) имеет две отрицательные и одну положительную координаты (-x,-y, +z). Седьмой октант (VII) имеет все три отрицательные координаты (-x,-y, -z). Восьмой октант (VIII) имеет одну положительную и две отрицательные координаты (-x,+y, -z).

На рис.13. показаны точки, расположенные в первых четырех октантах.

Точка А (А’ и A’’) расположена в первом октанте.

Точка B (B’ B’’) расположена во втором октанте.

Точка С (С’ С’’) расположена в третьем октанте.

Точка D (D’ D’’) расположена в четвертом октанте.

При работе в системе двух плоскостей проекций (π₁ π₂) пространство делится на четыре части, которые называют «четвертями пространства».

Номера четвертей пространства соответствуют номерам первых четырёх октантов ( рис.13.).

Точка «A» расположена в первой четверти пространства (в первом октанте).

Точка «B» расположена во второй четверти (во втором октанте).

Точка «C» расположена в третьей четверти (в третьем октанте).

Точка «D» расположена в четвертой четверти (в четвертом октанте).

Рис. 13. Изображение точек, расположенных в первых

четырех октантах пространства.

2.4 Проекции отрезка прямой линии

Проекция отрезка прямой линии полностью определяется проекциями двух его точек. На рис.14. представлен чертеж отрезка │AB │ в системе (π₁, π₂, π₃).

Если ни одна из проекций прямой не параллельна и не перпендикулярна ни одной из осей проекций, то такая прямая носит название прямой общего положения.

Рис. 14. Изображение отрезка прямой линии общего положения в системе трёх плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃).

Следовательно, представленный отрезок (рис.14.) есть отрезок прямой общего положения.

Все другие прямые называют прямыми частного положения.

Прямые частного положения удобно разделить на две группы.

1 – я группа – линии уровня

(рис.15).

Каждая прямая этой группы параллельна только одной из

трёх плоскостей проекций. К ним относятся, в системе плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃), горизонтальные прямые, фронтальные прямые и профильные прямые.

Рис. 15. Изображение отрезков прямых линий уровня в системе трёх плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃)

К ним относятся, в системе плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃), горизонтальные прямые, фронтальные прямые и профильные прямые.

Горизонтальная прямая (AB) (рис.15 «a») параллельна горизонтальной плоскости проекций (π₁).

Фронтальная прямая (CD) (рис.15 «б») параллельна фронтальной плоскости проекций (π₂).

Профильная прямая (EF) (рис.15 «в») параллельна профильной плоскости проекций ( π₃).

2 – я группа – проецирующие прямые

(рис.16).

Рис. 16. Изображение проецирующих прямых линий в системе трёх плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃)

Каждая прямая этой группы перпендикулярна одной из плоскостей проекций. К ним относятся, в системе плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃) горизонтально - проецирующие прямые, фронтально - проецирующие прямые и профильно - проецирующие прямые.

Горизонтально - проецирующая прямая (MN) (рис.16 «a») перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (π₁).

Фронтально - проецирующая прямая (PQ) (рис.16 «б») перпендикулярна фронтальной плоскости проекций (π₂).

Профильно - проецирующая прямая (RT) (рис.16 «в») перпендикулярна профильной плоскости проекций (π₃).

Следует заметить, что горизонтально - проецирующая прямая (MN) параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций (π₂ и π₃), фронтально - проецирующая прямая (PQ) параллельна горизонтальной и профильной плоскостям проекций (π₁ и π₃), профильно - проецирующая прямая (RT) параллельна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (π₁ и π₂).

21