Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 7. Дифференциальное исчисление.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.11.2018

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Геометрический смысл теоремы Ферма

Если функция на отрезке имеет локальный экстремум, то касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси .

Теорема 2. Теорема Ролля

Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка .

Доказательство:

Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).

Пусть , а . Тогда возможны два случая:

1. Если , то . Тогда .

2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точке функция будет иметь экстремум, а по теореме Ферма . ■

Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).

Теорема 2. Теорема Лагранжа

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию так, чтобы функция удовлетворяла теореме Ролля, т.е. :

, ,

Тогда ,

, . Таким образом, ■

Замечание. Геометрический смысл теоремы:

 точка , в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и . (Рисунок)

Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 1. Формула конечного приращения

Если то

где , или .

Следствие 2. Критерий монотонности

Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция не убывает на отрезке . Тогда, по определению, имеем . Возьмем любой и придадим ему положительное приращение . Получим .

Достаточность. Пусть . Возьмем точки такие, что и применим теорему Лагранжа: , где . Тогда или . Таким образом, получили определение неубывающей функции. ■

Теорема 3. Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что .

Доказательство:

Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что . Отсюда .

Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.

Тогда . Отсюда

Таким образом,

или . ■

Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.

Теорема 4. Теорема Лопиталя

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , причем , и . Тогда .

Доказательство:

Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номера N, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и , то функции и в точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: , . Тогда на отрезке данные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале . Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что

, где , или .

Перейдем к пределу при : ,

. ■

Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует .

Пример. Вычислим

, но не существует.

Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .

Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа

Пример. Вычислим . Для этого прологарифмируем функцию . Тогда . Следовательно, .

п. 7 Формула Тейлора

Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени : . Заметим, что . Так как , то

. Аналогично получим ,

Определение 1. Функция называется гладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядка включительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке . Этот факт обозначается .

Определение 2. Выражение вида

называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки .

Теорема 1. Если функция является гладкой порядка в некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .

Доказательство:

Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем

, , . Обозначим

Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как , …, ,,

тогда =

=…=. ■

Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – остаточный член функции .

Если , то формулу Тейлора для функции называют формулой Маклорена.

Остаточный член в виде называют остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора используется для того, чтобы приблизить функцию многочленом -й степени в некоторой окрестности точки :

Пример. Разложим многочлен по степеням . Для этого найдем коэффициенты разложения: , ,

, . Тогда

Теорема 2. О единственности разложения функции по формуле Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точки имеет разложение по формуле Тейлора, то это разложение единственно.

Доказательство:

. Пусть функция имеет два разложения:

Вычтем одно из другого и получим:

Пусть , тогда . Разделим полученное равенство на . Получим

. Тогда при получим . Рассуждая аналогично, получим . Следовательно, . Таким образом, разложения совпадают. ■

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. можно найти такие две функции, которые будут иметь одинаковые разложения по формуле Тейлора в некоторой окрестности точки .

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

Функция в окрестности точки имеет разложение , так как . Данное разложение позволяет вычислить .
Функция в окрестности точки имеет разложение , так как .

Аналогично имеют место следующие разложения:

;
;
.

п. 8 Исследование функции и построение графиков

Определение 1. Точка , в которой производная равна нулю или не существует, называется критической точкой функции .

Пример. Рассмотрим функцию . Произ-

водная функции не существует в точке . Следовательно, является критической точкой данной функции. (рисунок)

Пусть является критической точкой функции , дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки ) и непрерывной в ней. Тогда, если производная меняет знак при переходе через точку , то в этой точке функция имеет экстремум, а именно, если меняет знак с “+” на “-”, то - точка максимума; если с “-” на “+”, то - точка минимума. Если производная знак не меняет, то экстремума в точке нет. Таким образом, например, если , то - точка максимума функции . Применим теорему Лагранжа. Так как , то неравенство имеет место для всех из левой полуокрестности точки . Так как

, то неравенство имеет место для всех из правой полуокрестности точки . Таким образом, получили определение точки максимума функции :

Аналогично рассуждая, получим, что если , то - точка минимума функции .

Теорема 1. Если является критической точкой функции и то:

если то точка минимума;
если то точка максимума;
если то требуется дополнительное исследование.

Доказательство:

Пусть - критическая точка функции и существует . Тогда существует производная .

Пусть . Тогда возрастает в окрестности . Следовательно, меняет знак в окрестности с “-” на “+”, т.е. - точка минимума функции . ■

Пример. Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции:

. Таким образом, - критические точки данной функции. Так как , то , . По теореме точка требует исследования знака первой производной: при всех из некоторой окрестности этой точки, поэтому точка не является точкой экстремума данной функции. Так как , то по теореме - точка минимума.

Понятие выпуклости и вогнутости функции

Определение 2. Функция называется выпуклой на отрезке , если выполняется неравенство Йенсена .

Пример. Покажем, что функция является выпуклой на всей числовой оси. Пусть .

Рассмотрим

Таким образом, .

Определение 3. Функция называется выпуклой на отрезке , если касательная, проведенная к графику функции в точке с абсциссой , проходит не выше хорды, стягивающей точки с координатами и . (Рисунок)

Определение 4. Функция называется вогнутой на отрезке , если выполняется неравенство .

Замечание. Выпуклость функции называют выпуклостью вниз, а вогнутость – выпуклостью вверх.

Теорема 2. Критерий выпуклости

Для того, чтобы функция , дифференцируемая на интервале была выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобы монотонно возрастала на этом интервале. При этом строгому возрастанию соответствует строгая выпуклость .