Тема 7. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Наиболее широкое распространение в исследовании экономических процессов в случаях, когда изучаемая совокупность имеет нормальное или близкое к нормальному распределение, получил корреляционно – регрессионный анализ, включающий в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения связи между результативным и факторным (факторными) признаками. По направлению различают прямую и обратную связь между признаками. Теснота связи оценивается с помощью показателей корреляции – парных, частных и множественных коэффициентов корреляции при линейной зависимости и индексов корреляции при криволинейной зависимости:

Значение показателя корреляции	Характер связи
	Практически отсутствует
	Слабая
	Средняя, умеренная
	Тесная, сильная

Множественные коэффициенты и индексы корреляции принимают только положительные значения, поэтому не могут характеризовать направление связи. Квадрат коэффициента (индекса) корреляции называется коэффициентом (индексом) детерминации и характеризует долю вариации результативного признака, объясняемую влиянием включенного в модель фактора, в общей вариации результативного признака. Разность между 1 и коэффициентом (индексом) детерминации соответственно характеризует долю вариации, вызванную влиянием неучтенных в модели факторов.

Регрессия определяет аналитическую форму зависимости, бывает однофакторной (парной) и многофакторной (множественной) и в общем виде может быть выражена функцией:. Число факторных признаков должно быть примерно в 5-8 раз меньше объема изучаемой совокупности. Функция, отображающая связь между признаками, называется уравнением регрессии. Определение параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). Свободный член уравнения регрессии экономического содержания не имеет, а коэффициенты чистой регрессии показывают на сколько единиц в среднем изменится результативный признак У при изменении факторного Х_i на единицу собственного измерения при неизменном среднем значении других факторов. Относительную силу влияния фактора на результат характеризует средний коэффициент эластичности , который показывает, на сколько % изменится результативный признак У от своей средней величины при изменении фактора Х_i на 1% от своего среднего значения.

В случаях, когда характер распределения изучаемой совокупности неизвестен или для выявления силы связи между качественными признаками, определение тесноты связи основывается на непараметрических методах (расчет коэффициентов корреляции рангов Спирмена, Фехнера, ассоциации и контингенции и др.).

Задача 1. Парная корреляция и регрессия

Определите уравнение зависимости между урожайностью и себестоимостью 1 ц картофеля. Найдите коэффициенты корреляции, детерминации, эластичности. Сделайте выводы.

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Исходные данные			Расчетные данные
№ п/п	Себестоимость 1ц картофеля, руб.	Урожайность картофеля с 1 га, ц
1	9,0	260
2	10,8	220
3	20,0	120
4	14,5	130
5	10,0	230
6	9,6	290
7	7,5	300
8	7,2	290
9	19,6	110
10	17,8	130
Итого

Для расчета параметров и парной линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно и :

Уравнение связи принимает вид:_______________________________________

Коэффициент эластичности сравнительной оценки силы связи фактора с результатом для уравнения прямой:

Тесноту линейной связи оценивает коэффициент парной корреляции:

где

Коэффициент детерминации:

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. Множественная корреляция и регрессия

По данным таблицы установите влияние количества внесенных органических удобрений и доли сортовых посевов на урожайность картофеля.

Решение: Необходимые расчеты следует провести в таблице:

Исходные данные				Расчетные данные
№ п/п	Урожайность картофеля с 1 га, ц	Внесено органических удобрений на 1 га, т	Доля сортовых посевов, %
1	120	13	60
2	130	15	60
3	250	28	100
4	200	25	95
5	130	14	66
6	100	10	50
7	110	12	56
8	180	19	78
9	120	14	58
10	160	15	70
Итого

Линейное уравнение множественной регрессии У от Х₁ и Х₂ имеет вид: . Для расчета его параметров применим МНК:

Уравнение связи принимает вид:_______________________________________

Коэффициенты эластичности:

Для двухфакторной модели можно использовать следующую формулу коэффициента множественной корреляции:

где

Коэффициент множественной детерминации:

Вывод:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 3. Особенности корреляции в динамике

По данным таблицы определите зависимость урожайности зерновых и зернобобовых культур от дозы внесения органических удобрений

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Исходные данные			Расчетные данные
Годы	Урожайность зерновых и зернобобовых культур с 1 га, ц	Внесено органических удобрений на 1 га, т
1997	18,3	6,0	0
1998	12,7	4,0	1
1999	19,2	9,5	2
2000	14,6	6,5	3
2001	25,8	12,5	4
2002	12,4	3,5	5
2003	20,1	10,0	6
2004	15,3	7,0	7
Итого

В рядах динамики из-за автокорреляции – влияния изменений предыдущих уровней рядов на последующие – необходимо из уровней каждого ряда исключить тренд – основную тенденцию, налагаемую на ряд развитием во времени, и найти коэффициент корреляции отклонений от тренда по формуле:

где и ;

и - исходные ряды динамики;

и - выровненные по аналитическому уравнению ряды динамики.

Проведем аналитическое выравнивание урожайности зерновых и зернобобовых культур по уравнению прямой: , где искомые параметры уравнения и определяются МНК решением системы из двух нормальных уравнений:

Уравнение тренда принимает вид:

Проведем аналитическое выравнивание дозы внесения удобрений по уравнению прямой: :

Уравнение тренда принимает вид:

Коэффициент детерминации:

Коэффициент регрессии:

Коэффициент эластичности:

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 4. Расчет рангового коэффициента Спирмена

По данным таблицы рассчитайте ранговый коэффициент Спирмена между суммарными активами и объемом вложений акционеров банков.

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Исходные данные			Расчетные данные
№ п/п	Суммарный актив, млн.долл.	Объем вложений, млн. долл.	Ранжирование		Разность рангов	Квадрат разности рангов
			Rx	Ry
1	507,2	19,5
2	506,6	19,8
3	477,8	21,1
4	496,0	18,6
5	493,6	19,6
6	458,9	11,7
7	429,3	10,5
8	386,9	13,6
9	311,5	19,8
10	302,2	10,9
11	262,0	10,3
12	242,4	10,6
13	262,0	8,5
14	231,9	6,7
15	214,3	8,3
Итого, в среднем			Х	Х	Х

Ранжирование – это процедура упорядочивания объектов изучения. Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Ранги бывают связными и несвязными. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Такие ранги называют связными. Практикой доказано, что для связных и несвязных рангов можно использовать одну и ту же формулу коэффициента корреляции рангов Спирмена, который принимает любые значения в интервале от -1 до +1 и определяется по формуле:

где - квадрат разности рангов; - число наблюдений (пар рангов).

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 5. Расчет коэффициента Фехнера

По данным задачи 4 оцените степень тесноты связи между показателями, рассчитав другой непараметрический показатель связи-коэффициент Фехнера. Сравните результаты и сделайте выводы.

Решение:

Расчет коэффициента Фехнера, который принимает любые значения в интервале от -1 до +1, строится на сравнении поведения отклонений отдельных вариант от своей средней величины по каждому признаку. Причем во внимание принимаются не величины отклонений, а только их знаки. В таблице задачи 4 вычислим средние величины по каждому признаку, расставим знаки: «-» там где варианта меньше средней и «+» там, где больше, и рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

где С- совпадение знаков, Н- их несовпадение.

Вывод:________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 6. Расчет коэффициентов ассоциации и контингенции

Исследовалась связь между успеваемостью студентов-заочников одного из вузов и их работой по специальности. Результаты исследования представлены в таблице. Вычислите коэффициенты ассоциации и контингенции. Сделайте выводы.

Решение: Коэффициенты ассоциации и контингенции применяются для определения тесноты связи между двумя качественными признаками, каждый из которых состоит только из двух групп. Связь считается подтвержденной, если или , причем всегда .

Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Студенты- заочники	Получившие положительные оценки	Получившие неудовлетворительные оценки	Итого
Работающие по специальности	360 a	40 b	a+b
Неработающие по специальности	280 c	120 d	c+d
Итого	a+c	b+d	a+b+c+d

где a,b,c,d – градации признака, которыми обозначили данные в таблице сопряженности.

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 7. Расчет коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Оценка студентами профессиональных качеств преподавателей по курсу теории статистики представлена в таблице. Рассчитайте все возможные модификации коэффициентов Пирсона и Чупрова. Сделайте по ним выводы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Расчет коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона, Чупрова и их возможных модификаций – необходимы для определения тесноты связи между качественными признаками, когда каждый из них состоит более, чем из двух групп. Эти коэффициенты и их модификации принимают значения от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем связь сильнее.

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице:

Критерии оценки качества преподавателя,	Оценка,				Итого
	высокая	средняя	низкая	Затруднялись ответить
Знание предмета	62	26	1	11
Умение обучать	21	61	8	10
Восприимчивость к новому	20	51	10	19
Способность к саморазвитию	25	51	10	14
Итого

Коэффициент Пирсона: Коэффициент Чупрова:

где - число строк в таблице;

- число столбцов в таблице;

- показатель взаимной сопряженности – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:

Модификации:

коэффициента Пирсона: коэффициента Чупрова:

где число наблюдений;

- наиболее распространенный критерий согласия, используемый для проверки статистической гипотезы о виде распределения, вычисляется по формуле:

Вывод:________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 8. По следующим данным постройте линейное уравнение парной регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

Решение: Коэффициент корреляции определим по формуле:

где

Коэффициент регрессии определим исходя из следующей взаимосвязи:

Линейное уравнение парной регрессии принимает вид:

Вывод:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 9. Используя следующие данные определите параметры линейного уравнения парной регрессии:

Решение: Для расчета коэффициента парной линейной регрессии используем формулу среднего коэффициента эластичности:

Параметр определяется из соотношения:

Линейное уравнение парной регрессии принимает вид:

Вывод:_________________________________________________________________________________________________________________________________

Вопросы для самоподготовки

1. Каковы задачи корреляционно-регрессионного метода анализа?

2. Как определяются параметры уравнения регрессии, в чем их экономический смысл?

3. Как определяются парные и множественные коэффициенты корреляции и детерминации?

4. Перечислите непараметрические показатели связи, в каких случаях они

рассчитываются?