Прямая на плоскости Линия на плоскости

Линия на плоскости рассматривается, как множество точек, обладающих только им присущим геометрическим свойством. Введение декартовой системы координат на плоскости позволяет определить положение произвольной точки ее координатами, а положение линии на плоскости определяется с помощью уравнения. Если уравнение линии имеет вид F(x,y)=0, то любой паре чисел (x,y), удовлетворяющей данному уравнению, соответствует точка М(х,у), принадлежащая линии, и наоборот, координаты любой точки линии обращают ее уравнение в верное тождество.

Если две линии на плоскости заданы своими уравнениями , то задача о пересечении этих линий сводится к решению системы двух уравнений с двумя переменными:

Решениям системы соответствуют координаты точки пересечения заданных линий.

Простейшей из линий является прямая.

Общее уравнение прямой линии на плоскости

Алгебраическое уравнение первой степени относительно х и у задает на плоскости прямую линию

Ах + By + С = 0, и называется общим уравнением прямой

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение имеет вид у = . Это уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0. то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0. то получаем Ах + By =0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0; 0), прямая проходит через начало координат.

Прямая, проходящая через точку, перпендикулярно данному вектору

Опр: Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормалью к прямой.

Составим уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно ненулевому вектору .

Возьмем произвольную точку М(х,у) на прямой.

Так как вектор , то их скалярное произведение равно 0, т.е. , запишем в координатной форме:

Полученное уравнение можно преобразовать к виду: Ах+ Ву-

Замечание: имея общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0, можно выписать координаты нормали к прямой (т.е.вектора, перпендикулярного прямой) .

Прямая, проходящая через точку, параллельно данному вектору

Опр: Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный данной прямой.

Составим уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно вектору .

Возьмем произвольную точку М(х,у), принадлежащую прямой, составим вектор . Векторы должны быть коллинеарны, следовательно. Их координаты должны быть пропорциональны, т.е.

Данная форма записи уравнения прямой называется каноническое уравнение прямой. Для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение в общий вид, необходимо разрешить пропорцию: ; ;

Прямую, заданную в каноническом виде можно представить в параметрическом виде, для этого введем параметр p, и каждое отношение приравняем к параметру t. Решим полученные уравнения относительно x и y :

; ;

Получено параметрическое уравнение прямой линии на плоскости.