Прямая линия в пространстве Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Пусть заданы две плоскости:

Если они не параллельны, т.е. координаты нормалей к плоскостям и не пропорциональны, то система:

определяет прямую линию в пространстве. Такой способ задания называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, параллельно данному вектору

Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно заданному вектору .Возьмем произвольную точку М(x,y,z) на прямой .

Вектор параллелен вектору , следовательно , их координаты пропорциональны:

Данный способ задания прямой называется прямая по точке и направляющему вектору . Уравнение прямой получено в каноническом виде.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: и . Вектор является направляющим вектором прямой. Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данной плоскости

Пусть необходимо составить уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости , заданной уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0. Выпишем нормаль к плоскости, вектор . Для искомой прямой этот вектор является направляющим вектором. Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Перевод уравнения прямой из канонического вида в параметрический

Пусть имеется уравнение прямой в каноническом виде: . Для того, чтобы перевести уравнение в параметрический вид, введем параметр t и приравняем каждое отношение к параметру t. В результате получим:.

Прямая в параметрическом виде: где

Перевод уравнения прямой из общего вида в канонический

Пусть прямая задана в общем виде: для того, чтобы перевести ее в канонический вид, возьмем две точки принадлежащие данной прямой, т.е. два частных решения данной системы. Для получения частного решения системы, проще всего одной из переменных дать произвольное значение, например, . Подставить это значение в систему и решить полученную систему с двумя переменными:, например, по правилу Крамера:

, , найдена точка . Если же определитель , то необходимо другой переменной дать произвольное значение, например, и решить систему относительно х и z .Аналогично найти еще одно частное решение системы . И записать уравнение прямой по двум точкам: .

Перевод уравнения прямой из канонического вида в общий

Пусть дана прямая в каноническом виде: . Для того, чтобы ее перевести в общий вид, приравняем попарно отношения ( при условии, что ):после преобразований получим:

Прямая получена в общем виде, как пересечение двух плоскостей. Если же n=0. то можно получить одну из плоскостей, приравняв первое отношение к третьему.