Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме:
Пусть
заданы два вектора:
и
,
тогда:
Условие
коллинеарности
векторов:
-
т.е. проекции коллинеарных векторов
пропорциональны.
Док-во:Так
как условие параллельности векторов
можно записать в виде:
,
откуда
,
таким образом, условие коллинеарности
в координатном виде:
Представление вектора в декартовой системе координат
Рассмотрим
в трехмерном пространстве декартову
систему координат. Через начало координат
- точку О проведены координатные оси:
ОХ, ОУ, OZ.
На осях координат выберем единичные
векторы(орты),обозначаемые соответственно:
.
Возьмем произвольный вектор пространства
и совместим его начало с началом координат
.
Найдем проекции вектора
на координатные оси. Для этого через
конец вектора
,
точку М проведем плоскости, параллельные
координатным плоскостям. Точки пересечения
этих плоскостей с осями обозначим
соответственно
Получили прямоугольный параллелепипед,
одна из диагоналей которого является
вектор
,
а ребра, выходящие из вершины О являются
проекциями вектора на координатные
оси. Обозначим проекции вектора
на оси ОХ, ОУ, OZ
соответственно через
;
;
.
=
,
где
-угол
между вектором
и осью ОХ.
,
где
-
угол между вектором
и осью ОУ.
,
где
-угол
между вектором
и осью OZ.
Так
как
=
.
Полученное векторное равенство часто
записывается в символьном виде:
.
Получается формула разложения вектора по ортам координатных осей:
Проекции
вектора на соответствующие оси называются
координатами вектора
,
соответственно:
,
,
.
Два вектора равны, если равны их
координаты. Зная координаты вектора,
можно вычислить его модуль.
Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Нормировать
вектор, значит, сделать его единичной
длины, можно, разделив вектор на модуль
вектора:
Направляющие косинусы вектора
Косинусы
углов, составленных вектором
с координатными осями, называются
направляющими косинусами вектора и
получаются из формул:
,
;
;
.
Для
любого вектора выполнено условие
Направляющие
косинусы вектора являются координатами
нормированного вектора:
.
Координаты точки, радиус-вектор точки
Пусть
проекции точки М на координатные оси
будут М(х;у;z).
Вектор
с началом в начале координат и концом
в точке М называется радиус- вектором
точки, обозначается
.
Следовательно, координаты точки совпадают
с координатами ее радиус- вектора.
Выражение координат вектора через координаты начала и конца.
Пусть
известны координаты начала и конца
вектора А(
и B(
.
Найдем координаты вектора
=
Для нахождения координат вектора необходимо: из координат конца вектора вычесть координаты его начала.
Деление отрезка в данном отношении
Пусть
требуется отрезок АВ, соединяющий две
точки А
B
разделить в заданном отношении
,
т.е. найти координаты такой точки
,
что
, т.е.
,
в координатной форме:
;
)
Учитывая то, что равные векторы имеют
одинаковые координаты, получаем:
_
координаты
точки М(х,у,z)
Замечание:
Для нахождения середины отрезка АВ, в
приведенные формулы подставим
,
получим: