Свойства векторного произведения

1. .При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. .

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е..

3. .

4. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, и наоборот, из равенства нулю векторного произведения следует коллинеарность векторов.

5. 

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть даны два вектора и .

Найдем их векторное произведение, перемножая их как многочлены, используя свойства векторного произведения:

+

Полученную формулу можно записать еще короче

=

Приложения векторного произведения

Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух его смежных сторон: ,

Площадь треугольника, построенного на двух сторонах равна половине модуля векторного произведения:

Условие коллинеарности векторов

Если то и наоборот, т.е.

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение векторов и , составленное следующим образом:. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Обозначается смешанное произведение:

С

мешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестанов­ке его сомножителей, т. е. .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении меняющей у произведения знак.

3.Смешанное произведение ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Пусть векторы заданы своими координатами:

, , . Найдем их смешанное произведение, используя формулы для выражения векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Приложения смешанного произведения

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Если ,то тройка — правая; если , то - левая тройка.

2. Установление компланарности векторов. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю .

3. Объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е. - объем параллелепипеда;

- объем пирамиды, построенной на векторах

Пример:

По координатам вершин пирамиды найти:

1) косинус угола между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

где ; ; ; .

Решение:

1) Найдем координаты векторов и ;

,

Косинус угола между векторами находится по формуле .

.

,, .

Ответ: .

2) площадь треугольника вычисляется по формуле:

, ,

,

Ответ: кв.ед.

3) Найдем объем пирамиды :

.

Ответ: куб.ед.