Произведения векторов Скалярное произведение векторов и его свойства

Опр: Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

где - угол между векторами и . Для скалярного произведения применяются обозначения: , или , или ().

Формуле можно придать иной вид. Так как , , то получаем:

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого в направлении первого.

Свойства скалярного произведения

1. 

2. (

3. (

4. скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора.

5. модуль вектора равен корню из скалярного квадрата.

6. если ненулевые векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть заданы два вектора и . Составим таблицу скалярных произведений орт:

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения орт

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример 1. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора и , лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: =(6;9;-3) и =(6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов: =36-36-0=0.

Отсюда следует, что . Т.е. диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение косинуса угла между двумя ненулевыми векторами:

Отсюда следует условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора в направлении :

Векторное произведение и его свойства

Опр:Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку , если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, если же поворот виден по часовой стрелке, то тройка векторов является левой.

Опр: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор , который:

• перпендикулярен векторам и ;

• имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , где угол между и

• векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами: