Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных :

В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме AХ=В, где

,

.

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец B, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется столбцом свободных переменных, или просто правой частью системы. Матрица-столбец X, элементами которой являются искомые неизвестные, называется столбцом переменных.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде AX=B, является матричным уравнением.

Пример 1: Записать систему в виде матричного уравнения:

Решение: Матрица системы: ,

столбец переменных: X=,

столбец свободных переменных : b=

Ответ: Матричное уравнение имеет вид:

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

,

при подстановке которых в систему, все уравнения обращаются в верные тождества. Или решение можно записать в виде столбца , подстановка которого в матричное уравнение AX=B, обращает его в верное тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Если система имеет единственное решение, то система называется определенной, если решений много, то система называется неопределенной.

Решение матричных уравнений

Рассмотрим системы, число уравнений которых m равно числу переменных n и матрица системы А является невырожденной, т.е. detА.Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица А. И тогда для решения матричного уравнения AX=B, необходимо обе части этого уравнения слева умножить на А Получаем решение системы в виде: .

Пример 2: Решить систему, как матричное уравнение:.

Решение:

1. Запишем систему в матричном виде:.

2. Для матрицы системы найдем обратную матрицу: ,

3. Решение системы ищем в виде: .

Ответ: .

Пример 3: Решить матричное уравнение:

.

Решение: Для матрицы системы А найдем обратную матрицу:

1. Решение системы ищем в виде: . .

Ответ:.

Правило Крамера

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера):

где - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом свободных переменных b.

Применим правило Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему: ,

где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (₁) и при y (₂) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

Для систем трех уравнений с тремя неизвестными

правило Крамера имеет вид:

,

где

 Пример 4. Решить систему по формулам Крамера: .

Решение:

Ответ:

Пример 5: Решить систему по формулам Крамера:

Решение:

Ответ:

 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Он применим как для решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей, так и для систем с вырожденной матрицей и для систем, число уравнений которых не совпадает с числом переменных. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных :

приводят с помощью эквивалентных преобразований, не меняющих решения системы, к ступенчатому виду( в частности, к верхнетреугольному)

,

решение которой находят следующим образом: выражают .из последнего уравнения, подставляют в предпоследнее, из которого выражается и т.д., из первого уравнения выражается .

Матричная запись метода Гаусса

1. Прямой ход метода Гаусса: выписывается расширенная матрица системы( справа к матрице системы приписывается столбец свободных переменных)

,

применяем элементарные преобразования над строками для приведения матрицы к ступенчатому виду:

• строки можно переставлят местами;

• строку можно умножать на любое число, не равное нулю;

• к строке можно поэлементно прибавлять другую строку, умноженную на ненулевое число.

1-й этап:

Считая элемент ( в противном случае переставляем местами строки), обнулим все элементы первого столбца кроме .

Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на .

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на и т.д.

Получим преобразованную матрицу:

, где и - преобразованные коэффициенты матрицы.

2-й этап:

Считая , обнулим все коэффициенты второго столбца, кроме и , для чего к каждой строке прибавляем вторую строку, умноженную на соответствующий коэффициент.

Если в процессе приведения появляется нулевая строка, ее выбрасываем. Если появляется строка, все коэффициенты которой нули, а последний , то система несовместна.

Обратный ход метода Гаусса: По виду ступенчатой матрицы: восстановить систему:,

Если число оставшихся уравнений и число переменных совпадает, то система имеет единственное решение. Если же переменных больше, чем уравнений, то переменные, вышедшие на диагональ называются главными, или зависимыми, а переменные не вышедшие на диагональ свободными. Свободные переменные необходимо перенести в правую часть уравнения и начиная с последнего уравнения выразить главную переменную ,подставить в предпоследнее, из которого выразить , и т.д., из первого уравнения выразить . В этом случае система имеет множество решений. Свободные переменные могут приобретать любые значения, и через них выражаются значения зависимых переменных.

Пример 6: Решить систему методом Гаусса:

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к верхнетреугольному виду: