Матрицы, виды матриц

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Обозначается такая матрица А . Элемент, стоящий на пересечении i строки и j столбца обозначается a _ij , i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов и обозначается , где n - порядок матрицы.

Элементы ,стоящие на диагонали квадратной матрицы, идущей из левого верхнего в правый нижний угол, называются главной диагональю матрицы.

Квадратная матрица, вне главной диагонали которой находятся нули, называется диагональной матрицей.

Квадратная матрица, под главной диагональю которой находятся нули, называется верхнетреугольной.

Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, называется единичной и обозначается Е.

Матрица, все элементы которой равны 0,называется нулевой и обозначается О.

Примеры: Определить тип матрицы:

D=; B=; E₃=; O₂=; A₂₃=

Решение: D-диагональная; В-верхнетреугольная; Е-единичная третьего порядка; О-нулевая второго порядка; А-прямоугольная

Матрица, содержащая один столбец, называется вектором, или вектором-столбцом. Матрица, содержащая одну строку, называется вектором, или вектором-строкой.

Примеры: А-вектор-столбец; В-вектор-строка

А=; В=.

Матрицы равны между собой, если они одинакового размера и равны все соответствующие элементы этих матриц. А=В, если , где i= j=.

Операции над матрицами

Транспонирование матрицы:

Чтобы транспонировать матрицу, необходимо элементы первой строки записать в первый столбец, элементы второй строки во второй столбец и т.д..

при транспонировании получим:

Примеры: Транспонировать матрицы:

А==; В==. D==.

Квадратная матрица A, для которой A ^T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Умножение матрицы на число:

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент этой матрицы.

k=k

Примеры: Выполнить действия:

2А=; -Е=-1 Сложение матриц:

Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

А+В=

Пример: Выполнить действие:

Решение:

2

Умножение матриц:

. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

, ,

то произведением матриц A и B, называется матрица

,

элементы которой вычисляются по формуле

c _ij =a _i1 b _1j + a _i2 b _2j + ... +a _in b _nj , i=1, ..., m, j=1, ..., k.

другими словами, элемент c равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т.е. C=AB. Матрица-результат имеет количество строк, равное количеству строк левого множителя и количество столбцов, равное количеству столбцов правого множителя.

Примеры: Для данных матриц выполнить взаимные умножения:

А=; В=; D= .

Решение:

А 

; D выполнить невозможно.

D; B выполнить невозможно

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей, т.е. в общем случае. Две матрицы A и B называются перестановочными, если  

Возведения матрицы в целую неотрицательную степень:

A ⁰ =E, A ¹ =A, A ² =AA, ..., A ⁿ =A ^n-1 A, ....

Свойства операций над матрицами:

1. А+В=В+А 6. А+О=А

2. А 7. (А+В)

3. А 8. (А

4. А 9. (А+В)

5. (А 10. k