1.5 Элементы цифровых систем автоматического управления

Логические элементы:

ИЛИ (OR) — логическое сложение или дизъюнкция (от англ. disjunction - разъединение) - на выходе этого элемента появится логическая единица тогда, когда хотя бы на одном из входов появится единица. Логический ноль на выходе будет только тогда, когда на всех входах будет сигнал логического нуля.

И (AND) — логическое умножение или конъюнкция (от англ. conjunction — соединение, & - амперсанд) - на выходе этого элемента сигнал логической единицы появляется только тогда, когда на всех входах будет присутствовать логическая единица. Если хотя бы на одном входе будет ноль, то и на выходе тоже будет ноль.

НЕ (NOT) — логическое отрицание или инверсия, обозначается черточкой над переменной - операция выполняется над одной переменной x и значение у противоположно этой переменной.

Рисунок 1.13 — Базовые логические функции и их реализация

В логических устройствах используются различные логические элементы. Особое значение имеют две универсальные логические операции, каждая из которых спо­собна самостоятельно образовать любую логическую функцию.

И-НЕ - функция Шеффера и ИЛИ-НЕ - функция Пирса.

Рисунок 1.14 — Универсальные логические функции и их реализация

Понятие минимизации логических функций

При представлении функции алгебры логики (ФАЛ) математическим выра­жением используют два вида ее представления.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) на­зывается логическая сумма элементарных логических произведе­ний, в каждое из которых аргумент или его отрицание входят один раз.

ДНФ может быть получена из таблицы истинности сле­дующим образом: для каждого набора аргументов, на котором функция равна «1», записывают элементарные произведения пе­ременных, причем переменные, значение которых равно нулю, записывают с инверсией. Полученные произведения, называемые минтермами, суммируют.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) на­зывается логическое произведение элементарных сумм, в каждую из которых аргумент или его отрицание входят один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности: для каждого набора аргументов, на котором функция равна «0», составляют элемен­тарную сумму, причем переменные, значение которых равно «1», записываются с отрицанием. Полученные суммы объединяют опера­цией логического умножения.

Пример 1 Таблица 1.2 — Таблица истинности

x2	x1	x0	y
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Задана логическая функция 3-х переменных, которая равна единице в случае, если хотя бы две из входных переменных рав­ны единице. Запишем эту функцию в виде таблицы истинности (табл. 1.2). Для данной логической функции ДНФ имеет вид

ДНФ, полученная суммированием конституента единицы, на­зывается совершенной (СДНФ).

Для функции из примера 1 КНФ:

Иногда удобнее пользоваться не самой ФАЛ, а ее инверсией. В этом случае при использовании вышеописанных методик для записи СДНФ надо использовать нулевые, а для записи СКНФ единичные значения функции.

Минимизация ФАЛ — сокращение логического выражения функции до минимума. Целью минимизации является миними­зация стоимости ее технической реализации.

Метод минимизации ФАЛ с использованием карт Вейча (Кар­но) базируется на табличном виде представления ФАЛ. Картой Вейча (Карно) называется таблица, число клеток ко­торой для функции и переменных равно 2ⁿ, причем каждому минтерму соответствует своя клетка карты (рис. 1.15).

Рисунок 1.15 — Вид карты Вейча (Карно) для функции 3 переменных

Если требуется представить на карте Вейча (Карно) логичес­кую функцию, заданную в виде ДНФ, в соответствующие клет­ки заносятся единицы. Остальные клетки остаются незаполненными или заполняются нулями. Логиче­ская функция на карте Вейча (Карно) представляется совокупностью клеток, за­полненных единицами, а инверсия функ­ции представляется совокупностью пустых или заполненных нулями клеток.

При минимизации ФАЛ используются либо ее единичные, либо нулевые значе­ния. В обоих случаях получаются равносиль­ные выражения, которые, однако, могут отличаться по числу членов и выполнен­ных логических операций.

Основным критерием минимизации ФАЛ является кри­терий уменьшения количества элементарных логических элемен­тов при использовании только однородных элементов, например, только типа И-НЕ (ИЛИ-НЕ).

Алгоритм минимизации сводится к следующему:

На карте Вейча выделяют прямоугольные области, объединяющие выбранные значения функции («1» или «0»). Причем каж­дая область должна содержать 2^k клеток, где k может принимать значения 0; 1; 2; 3, т.е. 1; 2; 4; 8 клеток. Выделенные области могут пересекаться, т. е. одна клетка может входить в не­сколько разных областей.

Каждая из выделенных областей является самостоятельным произведением переменных и носит название импликанты.

Для каждой выделенной области записывается произведение тех аргументов, которые в соседних клетках не изменяют своего значения.

Сумма полученных произведений образует минимальную ДНФ.

При объединении клеток с нулевыми значениями ФАЛ полу­чим ФАЛ, инверсную заданной.

Пример 2

;

Пример 3

;

объединяем по «1»

;

Следует также отметить, что, поскольку карты Вейча (Карно) функции 3-х переменных представляют собой объемные фигу­ры, при формировании областей необходимо помнить, что в одну область объединяются крайние столбцы карты 3-х переменных (рис. 1.15).

Рисунок 1.16 — Объединение крайних областей в единую область

Регистр — электронное устройство, предназначенное для кратковременного хранения и преобразования многоразрядных двоич­ных чисел. Регистр состоит из триггеров, количество которых определяет, сколько разрядов двоичного числа может хранить регистр – разрядность регистра (рис. 1.16, а). Для организации работы триггеров могут быть использованы логические элементы.

Рисунок 1.17 — Регистр

а) общее представление, б) условно-графическое обозначение

По способу ввода и вывода информации регистры подразделяются на параллельные и последовательные.

В последовательном регистре триггеры соединены последовательно, т. е. выходы предыдущего триггера передают информацию на входы последующего. Тактовые входы С триггеров соединены параллельно. Такой регистр имеет один информационный вход и вход управления - тактовый вход С.

В параллельном регистре запись в триггеры происходит одновременно, для чего имеется четыре информационных входа.

На рисунке 1.17 представлено УГО и назначение выводов четырёхразрядного параллельно-последовательного регистра.

Счетчик импульсов — электронное устройство, предназначенное для подсчета числа импульсов, поданных на вход. Количество поступивших импульсов выражается в двоичной системе счисления.

Счетчики импульсов являются разновидностью регистров (счетные регистры) и строятся соответственно на триггерах и логических элементах.

Основными показателями счетчиков являются коэффициент счета К 2ⁿ - число импульсов, которое может быть сосчитано счетчиком. Например, счетчик, состоящий из четырех триг­геров, может иметь максимальный коэффициент счёта 2⁴=16. Для четырехтриггерного счетчика минимальный выходной код - 0000, максимальный -1111, а при коэффициенте счёта К_с = 10 выходной счет останавливается при коде 1001 = 9.

На рисунке 1.18 представлены УГО четырехразрядного счетчика и временные диаграммы работы. При поступлении первого счетного импульса по его спаду первый триггер переходит в состояние Q1 = 1, т.е. в счетчике записан цифровой код 0001. По окончании второго счетного импульса первый триггер переходит в состояние «0», а второй переключается в состояние «1». В счет­чике записывается число 2 с кодом 0010.

Рисунок 1.18 — Двоичный четырехразрядный счетчик

а) условно-графическое обозначение, б) временные диаграммы работы

Подсчет числа импульсов является наиболее распространенной операцией в устройствах цифровой обработки информации.

В процессе работы двоичного счетчика частота следования импульсов на выходе каждого последующего триггера уменьшается вдвое по сравнению с частотой его входных импульсов (рис. 1.18, б). Поэтому счетчики применяют также в качестве делителей час­тоты.

Арифметически-логическое устройство

Основным узлом любого микропроцессора является арифметически-логическое устройство (АЛУ) — выполняющее соответственно определенные логические и арифметические операции.

Микросхема ИК2 – это АЛУ с умножением, имеет: по четыре входа данных для двух переменных X и Y (X0…X3 и Y0…Y3), три входа выбора операций Е0…Е2, четыре выхода разрядов F0…F3, входы переноса С0 и G и выход переноса Р.

Если на все входы выбора операций Е0…Е2 подано напряжение низкого уровня, то на всех выходах будет нулевое состояние (операция очищение). Другие операции приведены в табл. 1.3.

Рисунок 1.19 — Микросхема ИК2 - арифметически-логическое устройство (АЛУ)

Таблица 1.3 — Выполняемые операции АЛУ на ИМС ИК2

Входы выбора операций			Выполняемые операции
Е2	Е1	Е0
0	0	0	очищение
0	0	1	вычитание (Y - X)
0	1	0	вычитание (X - Y)
0	1	1	сложение (X + Y)
1	0	0	операция исключ. ИЛИ
1	0	1	логическое сложение (X + Y)
1	1	0	логическое умножение (X·Y)
1	1	1	установка

Практическая работа 1 — Минимизация логических функций

Задана логическая функция 3-х переменных. По заданной таблице истинности:

- составить ДНФ;

- минимизировать функцию с помощью карты Вейча (Карно);

- по полученной функции составить схему реализации функции с помощью интегральных микросхем И-НЕ;

- реализовать данную функцию на контактных элементах.

Таблица 1.4 — Варианты заданий (последняя цифра номера по списку в журнале)

№ варианта			1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
x0	x1	x2	y	y	y	y	y	y	y	y	y	y
0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0
0	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	0
1	1	1	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1

Синтез логических устройств в заданном базисе логических элементов

На практике в целях уменьшения номенклату­ры используемых микросхем часто пользуются функционально пол­ной системой логических элементов в составе двух, выполняю­щих операции И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Любую ФАЛ можно записать в заданном базисе логических элементов.