Пример 1. 27

1. Пусть задано некоторое множество U. На множестве-степени этого множества 2^U можно определить операции: объединение множеств (), пересечение множеств () и абсолютное дополнение множества (_    ), т.е. задать множество операций   = {, ,_  }. Здесь операции объединения и пересечения множеств – бинарные операции, а абсолютное дополнение – унарная операция. Рассмотренная структура называется алгеброй кантора или алгеброй множеств.

2. Рассмотрим множество вычетов по модулю n,  равное {[0], [1], …, [n-1]}, на этом множестве можно задать бинарную операцию  – сложение по модулю n (), согласно которой:  [s]  [t] = [r], где s + t  r(mod n)  и  r < n. Например, при n = 7 получим: [3]  [4] = [0]. Аналогично можно задать операцию умножения по модулю n. Эти операции – бинарные.

Бинарная алгебраическая операция

Для определения алгебраической операции могут использоваться и другие формулировки. В частности, бинарную операцию можно определить следующим образом.

Бинарной алгебраической операцией на множестве M называется некоторый закон, по которому всякой упорядоченной паре элементов множества M ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Пример 1.28

1. Операции, заданные на множестве действительных чисел: умножение, сложение, вычитание чисел. Операция деления не удовлетворяет определению бинарной алгебраической операции из-за невозможности деления на ноль (эта операция принимается с оговорками).

2. Операции, заданные на множестве векторов в R³: векторное произведение векторов, сложение двух векторов - алгебраические. Скалярное же произведение векторов не является алгебраической операцией, так как результат – скаляр, а не вектор.

3. Операции, заданные на множестве квадратных матриц одного порядка: произведение матриц одного порядка, сложение матриц – это алгебраические операции.

Задание операций таблицей Кэли

Фактическое задание алгебраической операции (закона) на множестве может производиться различными методами.

Алгебраическую операцию, если множество конечное, логично задавать перечислением результатов для различных пар элементов. Для такого задания операции используются таблицы Кэли (рис.1.9).

Для примера возьмем множество Х = {x₁, x₂, x₃} и зададим операцию сдвига  (рис. 1.9, а). Аналогично зададим на множестве {0, 1} операции дизъюнкции () (рис. 1.9, б) и конъюнкции () (рис. 1.9, в).

 

Рис. 1.9. Задание бинарной алгебраической операции таблицами Кэли

 

Свойства, терминология

При изучении свойств бинарных алгебраических операций часто применяются мультипликативная или аддитивная терминологии.

Согласно мультипликативной терминологии  операция  "a умножить на b" называется умножением, а результат – произведением и записывается: ab, если не возникает недоразумений, или ab в противном  случае.

Согласно аддитивной терминологии операция называется сложением, а результат суммой: a + b.

Операция называется коммутативной, если для любых элементов a и b множества M справедливо равенство: ab = ba  (a + b = b + a).