2. Число всех натуральных делителей числа n.

Теорема 3. Если число имеет каноническое разложение (1), то число его натуральных делителей равно

.

Доказательство.

Замечание. Для сокращения записей условились писать: и . Первая запись означает, что делится на , а вторая – является делителем n.

Задача 2. Найти число натуральных делителей числа 360.

Решение.

3. Сумма всех натуральных делителей числа n.

Теорема 4. Если число имеет каноническое разложение (1), то сумма всех его натуральных делителей равна

. (3)

Доказательство.

Задача 3 Найти сумму всех натуральных делителей числа 360.

Решение.

.

4. Функция Эйлера.

Эта функция выражает число натуральных делителей числа , которые не превосходят и взаимно просты с . Ее обычно обозначают .

Теорема 5. Если число имеет каноническое разложение (1), то

. (4)

Поскольку , эту функцию часто записывают так

.

Доказательство.

Задача 4. Найти число натуральных делителей числа 360, которые не превосходят это число и взаимно просты с ним.

Решение.