Тема №2 Рекуррентные последовательности и производящие функции

1. Введение

В комбинаторном анализе существует целый ряд подходов для изучения комбинаторных объектов и чисел:

- теоретико-множественный подход. Связан с вычислениями мощностей конечных множеств. Для решения таких вопросов необходима дополнительная информация, т.е. надо знать заранее мощности некоторых подмножеств (пример ‒ теорема включений и исключений).

- алгебраический подход. Основан на использовании вспомогательных, просто получаемых комбинаторных тождеств для нахождения интересующих исследователя комбинаторных чисел (пример ‒ метод рекуррентных соотношений).

- применений формул обращения. Формулы обращения связывают между собой различные комбинаторные числа и могут быть получены самыми различными способами.

- метод производящих функций. Используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств.

Рассмотрим один подход алгебраического подхода – метод рекуррентных соотношений.

Часто бывает удобно добавить к последовательности еще один элемент и рассматривать последовательность

, , , …, ,…

Иногда областью определения функции служит множество из первых натуральных чисел. Тогда множество значений функции называется конечной последовательностью длины . Последовательность можно считать бесконечной последовательностью, все члены которой, начиная с -го, равны нулю.

Для задания некоторых последовательностей используются рекуррентные соотношения. При таком способе задания последовательности указывают один или несколько первых членов и правило, которое позволяет найти ее n-ый член по предыдущим членам. Уточним понятия рекуррентной последовательности и рекуррентного соотношения.

2. Рекуррентные последовательности

Последовательности, в которых каждый член, начиная с некоторого, выражается через предыдущие, часто встречаются в математике и называются рекуррентными (от латинского recurrere – возвращаться) или возвратными.

Процесс вычисления членов этих последовательностей называется рекуррентным процессом.

.

Последовательность называется рекуррентной (возвратной) последовательностью порядка , если существует формула

, (1)

по которой член последовательности вычисляется по k предыдущим членам . Такая формула называется рекуррентным соотношением или рекуррентным уравнением порядка . Естественно, что при этом должны быть известны (заданы) и начальные члены .

Так, формула является рекуррентным соотношением порядка 2. Положив, например, , получим рекуррентную последовательность

1, 2, 3, 5, 16, …

с начальными членами 1, 2.

Формула – рекуррентное соотношение третьего порядка.

Задача 1. Найти рекуррентное соотношение для чисел

.

Решение.

3. Решение рекуррентного соотношения

Пусть рекуррентная последовательность k-го порядка задана соотношением . Функция , называется решением рекуррентного соотношения, если при подстановке выражения в это соотношение оно оказывается справедливым для каждого .

Чтобы установить, является ли функция решением рекуррентного соотношения -го порядка, приходится подставлять в это соотношение и , ..., , ; будем называть такой процесс алгоритмом проверки решения.

Задача 2. Доказать, что функция является решением рекуррентного соотношения

.

Решение.

Поскольку начальные члены рекуррентной последовательности можно задавать произвольно, то существует бесконечно много рекуррентных последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению данного порядка.

Общим решением рекуррентного соотношения -го порядка называется выражение

.

Иными словами, математическое выражение является общим решением рекуррентного соотношения -го порядка, когда выполняются следующие условия:

1)

2)

На основе понятия общего и частного решения рекуррентного соотношения можно найти способ описания всех рекуррентных последовательностей, удовлетворяющих заданному рекуррентному соотношению -ого порядка. Как следует из изложенного, схема нахождения любой такой последовательностей такова:

1)

2)

3)

4)

Начальные члены последовательности будем называть также начальными значениями (условиями) частного решения, т.е. функции .

К сожалению, не существует универсального способа решения рекуррентных соотношений, т.е. способа, пригодного в решении любого соотношения. Однако для некоторых частных видов соотношений такие способы найдены, например, для линейных рекуррентных соотношений.

Задача 3. Доказать, что последовательность

, , , …, , …

квадратов натуральных чисел является однородной линейной рекуррентной последовательностью.

Решение.

Рассмотрим свойства решений однородного линейного рекуррентного соотношения k-го порядка.

Теорема 1. Пусть – частное решения рекуррентного соотношения (3) k-го порядка, – произвольное число. Тогда – частное решение этого рекуррентного соотношения.

Доказательство.

Теорема 2. Пусть , – частное решения рекуррентного соотношения k-го порядка (3). Тогда – частное решение этого рекуррентного соотношения.

Доказательство.

Теорема 3. Если – корень алгебраического уравнения

, (4)

то функция является частным решением рекуррентного соотношения

.

Доказательство.

Рассмотренные теоремы позволяют найти общее решение рекуррентного соотношения (3).

Теорема 4. Если характеристическое уравнение (4) однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет различных корней , то общее решение этого соотношения имеет вид

.

Доказательство.

Задача 4. Найти общее решение однородного линейного рекуррентного соотношения .

Решение.

Теорема 5. Пусть характеристическое уравнение (4) однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет только k-кратный корень . Тогда общее решение рекуррентного соотношения имеет вид

.