Тема 4. Лінійні простори та лінійні оператори
Література: [3], с. 37-47; [9], с. 34-45.
1. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору.
2. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору.
3. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.
Приклад
1.
Довести, що вектори
,
утворюють базис у тривимірному
просторі
та знайти координати вектора
в цьому базисі.
4. Лінійний оператор та його матриця.
5. Власні значення і власні вектори лінійного оператора.
Приклад 1. Знайти власні значення і власні вектори матриці:
:
; 
:
;
:
; 
:
;
:
;
:
;
:
; 
:
;
:
; 
:
.
Тема 5. Лінії на площині та у просторі
Література: [1], с.142-152, с.162-170; [3], с. 64-86; [7], с. 111-135.
1. Предмет, метод та задачі аналітичної геометрії.
Приклад
1.
Для заданих точок
,
визначити:
а)
відстань
;
б)
точку
,
що поділяє проміжок
у відношенні
;
в)
точку
,
що є серединою відрізка
.
Приклад
2.
Для заданих точок
,
визначити:
а)
відстань
;
б)
точку
,
що поділяє проміжок
у відношенні
;
в)
точку
,
що є серединою відрізка
.
2. Математичний опис геометричних об’єктів. Поняття про лінію на площині та її рівняння. Різні форми рівняння прямої на площині. Взаємне розташування прямих на площині.
Приклад
1.
Побудувати прямі
,
.
Визначити:
а) точку перетину цих прямих;
б) кут між ними.
Приклад
2.
Для
заданих прямих
,
визначити сталу
,
при якій прямі:
а) паралельні;
б) перпендикулярні.
Приклад
3.
Визначити відстань від точки
до прямої
.
3. Різні форми рівнянь площини у просторі. Неповні рівняння площини. Взаємне розташування двох площин у просторі. Відстань від точки до площини.
Приклад
1.
Для площини
визначити:
а) вектор, перпендикулярний до площини;
б)
точку
на заданій площині.
Приклад 2. Визначити кут між площинами:
,
.
Приклад
3.
При яких значеннях сталих
та
площини
і
паралельні?
Приклад
4.
При якому значенні сталої
площини
і
перпендикулярні?
4. Різні види рівнянь прямої у просторі. Взаємне розташування двох прямих у просторі. Взаємне розташування прямої і площини.
Приклад
1.
Для прямих
,
визначити:
а) напрямні вектори;
б) кут між прямими.
Приклад
2.
При якому значенні сталої
прямі
і
перпендикулярні
?
Приклад
3.
При яких значеннях сталих
та
прямі
,
паралельні ?
Приклад
4.
Для прямої
та площини
визначити:
а) точку перетину;
б) кут між прямою та площиною.
5. Поняття лінії другого порядку. Еліпс, гіпербола, парабола. Їх властивості, канонічні рівняння.
Приклад. Визначити числові характеристики та побудувати криві:
а)
;
в)
; д)
.
б)
;
г)
;
6. Поняття поверхні другого порядку. Поверхні другого порядку: сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Циліндричні, конічні поверхні. Поверхні обертання.
Приклад. Визначити вид поверхонь в просторі та намалювати їх:
1)
;
5)
; 9)
2)
;
6)
; 10)
3)
; 7)
; 11)
4)
; 8)
; 12)
.