2.2 Точка в системе трех взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π1, π2, π3

Плоскость π₃ (рис.9.) перпендикулярна двум ранее рассмотренным плоскостям проекций π₁ и π₂ (рис.6.).

Следовательно, плоскость π₃ перпендикулярна оси проекций «XO» . Плоскость π₃ пересекает плоскость π₂ по линии «YO», а плоскость π₃ по линии «ZO». Прямые «YO» и «ZO» также, по аналогии с «XO» , называют осями проекций.

Совмещаем плоскости проекций π₁, π₂, π₃ с системой плоскостей координат.

Рис.9. Это изображение точки (в системе трех ортогональных плоскостей проекций, совмещенных в одну плоскость) будем называть также «Эпюр Монжа».

В этом случае с осями проекций (XO, YO, ZO) будут совмещены также и оси координат (OX OY OZ) .

Общую точку осей проекций «O» будем считать началом координат.

На основе рис.9. выполняется построение изображения, показанного далее на рис.10.

Прямые (А’A’’) и (А’’A’’’) перпендикулярные осям проекций, будем также называть «линиями связи».

Отрезок линии связи │A’’ Ax│ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций (π₁).

Отрезок линии связи │A’ Ax│ определяет расстояние от точки «A» до фронтальной плоскости проекций (π₂).

Рис. 10. Изображение точки в системе трех ортогональных плоскостей проекций, совмещенных в одну плоскость.

Отрезок линии связи │A’ Ay│ определяет расстояние от точки «A» до профильной плоскости проекций (π₃). Проецирование точки в системе трех взаимно - перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций.

Часто применяют в решении задач более простое изображение – «Эпюр Монжа» для точки, которое показано на рис.11.

Рис. 11. Изображение точки в системе трех

ортогональных плоскостей проекций.

Отрезок линии связи │A’’ Ax│ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций (π₁) – «отрезок z».

Отрезок линии связи │A’ Ax│ определяет расстояние от точки «A» до фронтальной плоскости проекций (π₂) – «отрезок y» .

Отрезок линии связи │A’ Ay│ определяет расстояние от точки «A» до профильной плоскости проекций (π₃) – «отрезок x».

Первая координата (x) точки А (отрезок A_x O) называется абсциссой.

Вторая координата (y) точки А (отрезок A_x А^′) называется ординатой.

Третья координата (z) точки А (отрезок A_x A′′) называется аппликатой.

То есть мы получили в распоряжение декартову систему прямоугольных координат.

2.3 Ортогональные проекции и система

прямоугольных координат

К

π₁

ак видно из рис. 12. в выбранной системе плоскостей проекций (π₁, π₂, π₃) в совокупности с совмещенной с ней системой плоскостей координат ( XOY, XOZ , ZOY ), появилась возможность определять положение точки в пространстве тремя координатами, а именно, x, y и z. Координаты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Система координат Декарта может быть прямоугольной и косоугольной. Будем дальше рассматривать только прямоугольную систему.

Рис. 12.

Совмещённая система плоскостей проекций

(π₁, π₂, π₃) и плоскостей координат( XOY, XOZ,ZOY).

Римскими цифрами обозначены номера октантов.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь частей (октантов). Нумерация октантов показана на рис.12.

Первый октант (I) имеет все три положительные координаты (+x,+y, +z). Второй октант (II) имеет одну отрицательную и две положительные координаты (+x, -y, +z). Третий октант (III) имеет одну положительную и две отрицательные координаты (+x, -y, -z). Четвертый (IV) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты (+x, +y, -z). Пятый (V) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты (-x,+y, +z) . Шестой октант (VI) имеет две отрицательные и одну положительную координаты (-x, -y, +z). Седьмой октант (VII) имеет все три отрицательные координаты (-x,-y,-z). Восьмой октант (VIII) имеет одну положительную и две отрицательные координаты (-x, +y и -z).

На рис.13. показаны точки, расположенные в первых четырех октантах.

Точка А (А’ и A’’) расположена в первом октанте.

Точка B (B’ B’’) расположена во втором октанте.

Точка С (С’ С’’) расположена в третьем октанте.

Точка D (D’ D’’) расположена в четвертом октанте.

При работе в системе двух плоскостей проекций (π₁ π₂) пространство делится на четыре части, которые называют «четвертями пространства».

Номера четвертей пространства соответствуют номерам первых четырёх октантов ( рис.13.).

Точка «A» расположена в первой четверти пространства (в первом октанте).

Точка «B» расположена во второй четверти (во втором октанте).

Точка «C» расположена в третьей четверти (в третьем октанте).

Точка «D» расположена в четвертой четверти (в четвертом октанте).

Рис. 13. Изображение точек, расположенных в первых

четырех октантах пространства.