3.2 Підкільце. Критерій підкільця

Означення. Непорожня підмножина кільця називається підкільцем кільця , якщо є кільцем відносно алгебраїчних операцій, заданих в .

Ясно, що якщо – підкільце кільця , то, – підгрупа адитивної групи і підпівгрупа мультиплікативної півгрупи кільця .

Приклади.

1. Кільце парних чисел є підкільцем кільця цілих чисел .

2. Кільце цілих чисел є підкільцем кільця .

Природні включення визначають ланцюжки підкілець кільця.

3. Множина цілих чисел, що діляться на , буде в підкільцем (без одиниці при ).

Кожне кільце , очевидно, має наступні тривіальні підкільця: саме кільце і нульове підкільце .

Теорема (критерій підкільця). Для того, щоб непорожня множина кільця була підкільцем цього кільця, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця і добуток будь-яких двох елементів підмножини містилися в .

Теорема (про переріз підкілець). Переріз довільного числа підкілець кільця є його підкільцем.

3.3. Ідеали кілець

В теорії кілець особливу роль, аналогічну ролі нормальних дільників для груп, відіграють підкільця, які називаються ідеалами.

Означення. Непорожня підмножина кільця називається лівим (відповідно правим) ідеалом кільця , якщо:

1) є підгрупою адитивної групи кільця ;

2) для будь-який елементів і добуток (відповідно ) міститься в .

Підмножина кільця , яка є одночасно лівим і правим ідеалом цього кільця, називається двостороннім ідеалом або просто ідеалом кільця .

В комутативному кільці кожний лівий і кожний правий ідеал, очевидно, є двостороннім ідеалом.

Приклади.

1. Кожне кільце , очевидно, є своїм двостороннім ідеалом. Цей ідеал називається одиничним. В кожному кільці нульове підкільце є ідеалом, цей ідеал називається нульовим і позначається символом .

Одиничний ідеал містить будь-який ідеал кільця , а нульовий ідеал міститься в кожному ідеалі кільця .

2. Нехай – деяке кільце, – будь-який елемент цього кільця. Легко довести, що множина – лівий ідеал, а множина – правий ідеал кільця .

Означення. Нехай – довільне комутативне кільце, – будь-який елемент цього кільця. Множина називається головним ідеалом кільця , породженим елементом .

Властивість головного ідеала: Якщо –комутативне кільце з одиницею, – будь-який елемент цього кільця, то .

Приклад. Нехай – кільце цілих чисел, є . Знайти . В силу властивості головного ідеала, головний ідеал, породжений елементом , має вигляд:

.

Зокрема,

– нульовий ідеал ;

– одиничний ідеал ;

;

;

і т.д.

Теорема. В кільці всі ідеали головні.

Ми бачимо, що в кільці кожне ненульове підкільце є ідеалом – випадкова обставина, якій немає місця, скажімо, вже в матричному кільці : множина є підкільцем, але не ідеалом в .

Операції над ідеалами

Означення. Перерізом ідеалів і кільця називається множина

.

Теорема (про переріз ідеалів). Переріз ідеалів і кільця є ідеалом цього кільця.

Означення. Сумою ідеалів і кільця називається множина

.

Теорема (про суму ідеалів). Сума ідеалів і кільця є ідеалом цього кільця.

Означення. Добутком ідеалів і кільця називається множина

.

Теорема (про добуток ідеалів). Добуток ідеалів і кільця є ідеалом цього кільця.

Приклад. Знайти переріз, суму, добуток ідеалів кільця , породжених елементами 12 и 18.

Розв’язання. Оскільки – кільце з одиницею, то в силу властивості головного ідеалу і за означеннями, будемо мати:

;

;

.