2.5. Теорема Лагранжа та її наслідки

Теорема Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) – французький математик, член Паризької, Берлінської АН, почесний член Петербурзької АН). Порядок скінченої групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи:

.

Наслідок 1. Якщо порядок групи є просте число, то в цій групі не існує власних підгруп.

Наслідок 2. Група простого порядку завжди циклічна.

Наслідок 3. Порядок будь-якого елемента скінченної групи ділить порядок групи.

У зв’язку з теоремою Лагранжа виникає питання: чи для кожного дільника порядку групи існує підгрупа відповідного порядку? Виявляється, що це не так. Але для деяких груп „обернення теореми Лагранжа” справедливе. Наприклад, будь-яка підгрупа циклічної групи є знов циклічна група.

2.6. Нормальний дільник групи. Факторгрупа

Означення 1. (в термінах суміжних класів) Підгрупа групи називається нормальним дільником цієї групи (або інваріантною підгрупою), якщо ліві суміжні класи за підгрупою збігаються з правими, тобто для будь-якого елемента . (Цей факт будемо позначати так: ).

Це означає, що підгрупа групи тоді і тільки є інваріантною підгрупою цієї групи, коли вона є переставною з будь-яким елементом групи .

З означення випливає, що лівосторонній розклад групи за інваріантною підгрупою збігається з правостороннім.

В будь-якій групі завжди є два нормальних дільники: одинична підгрупа , і сама група : , .

Приклади.

1. В абелевій групі всі підгрупи є її нормальними дільниками.

2. В будь-якій групі підгрупа індексу 2 є нормальним дільником: і , то .

3. .

В нормальному дільнику для будь-якого елемента існує такий елемент , що . З цієї рівності можна визначити елемент : .

Означення. Елементи і групи називаються спряженими, якщо існує хоча б один такий елемент , що

. (або )

Таким чином,

Означення 2. (в термінах спряжених елементів) Підгрупа групи називається нормальним дільником цієї групи (або інваріантною підгрупою), якщо разом з кожним своїм елементом вона містить і всі елементи, спряжені з ним в .

Теорема (про переріз нормальних дільників). Переріз будь-яких нормальних дільників групи є нормальним дільником групи .

Доведення. Дійсно, якщо і – нормальні дільники групи , то, як випливає з теореми про переріз підгруп, буде підгрупою . Нехай , . Тоді елемент міститься і в і в . Звідси випливає, що елемент .□

Значення нормального дільника засновано на тому, що з суміжних класів за нормальним дільником деяким природним способом може бути побудована нова група.

Має місце

Теорема (про факторгрупу). Якщо – нормальний дільник групи , то операція множення наділяє множину суміжних класів за структурою групи, яка називається факторгрупою за . Суміжний клас є одиничним елементом фактор групи, а – елементом, оберненим до .

Позначається факторгрупа символом .

Якщо – скінченна група, порядок факторгрупи визначається формулою:

.

Зауваження. У випадку абелевих груп, що записуються адитивно, бінарна операція на вводиться співвідношенням:

.

Відповідно, часто називають групою за модулем , а у застосуванні до , , використовують назву „група за модулем ”.

Приклад. Знайти факторгрупу , де .

Розв’язання. Суміжні класи групи за підгрупою

, ,

надалі будемо позначати як . Групову операцію у факторгрупі визначимо так:

.