2.3 Підгрупа. Критерій підгрупи

Означення. Підмножина називається підгрупою групи , якщо є групою відносно бінарної алгебраїчної операції , заданої на групі .(надалі цей факт будемо позначати так: ).

Кожна група має, очевидно, наступні тривіальні (невласні) підгрупи: саму групу і підгрупу, яка містить тільки нейтральний елемент . Але, звичайно, в групі можуть бути і інші нетривіальні (власні) підгрупи. Для з’ясування того, чи є непорожня підмножина групи підгрупою групи , можна користуватися наступною теоремою:

Теорема (критерій підгрупи). Для того, щоб непорожня підмножина групи була б підгрупою групи , необхідно і достатньо, щоб підмножина :

1. разом з будь-якими своїми елементами і містила б також їх композицію ;

2. разом з будь-яким своїм елементом містила б також і симетричний елемент .

Приклади.

1. Адитивна група парних чисел є підгрупою адитивної групи цілих чисел.

2. Адитивна група чисел, кратних натуральному числу , є підгрупою адитивної групи цілих чисел.

2. Група цілих чисел є підгрупою адитивної групи раціональних чисел.

3. Мультиплікативна група і мультиплікативна група додатних раціональних чисел є підгрупами групи .

4. Розглянемо в групі підмножину матриць з визначником, рівним 1:

.

Очевидно, що . Крім того, , і . Тому – підгрупа групи . Вона носить назву спеціальної лінійної групи ступеня над .

5. Підгрупа містить підгрупу , яка, у свою чергу, містить цікаву підгрупу цілочисельних матриць з одиничним визначником.

Теорема (про переріз підгруп). Переріз будь-якого непорожнього сімейства підгруп групи є підгрупою.

2.4. Суміжні класи. Розклад групи на суміжні класи за підгрупою

Означення. Нехай – підгрупа групи . Лівим суміжним класом групи (або лівим класом суміжності) за підгрупою називається множина елементів вигляду , де – фіксований елемент з , а перебігає всі елементи підгрупи :

, .

Елемент називається представником суміжного класу .

Відображення індукує бієкцію , тому будь-які два лівих суміжних класи мають однакову потужність.

Так само визначаються праві суміжні класи групи за підгрупою :

, .

Теорема. Якщо – підгрупа групи , то для будь-якого елемента виконується .

Доведення. Нехай . Згідно із замкненістю підгрупи для будь-якого елементу добуток . Тоді . З іншого боку, , звідки . Отже, .□

Теорема (про розклад групи на ліві суміжні класи за підгрупою ). Два лівих суміжні класи групи за підгрупою збігаються або не мають спільних елементів. Розбиття на ліві суміжні класи по

(1)

визначає на відношення еквівалентності.

Розбиття (1) називається розкладом групи на ліві суміжні класи за підгрупою , або просто лівостороннім розкладом.

Аналогічне твердження має місце і для правих суміжних класів.

Приклад. Знайти суміжні класи адитивної групи за підгрупою чисел, кратних даному числу .

Розв’язання. В адитивній групі групова операція – додавання. Суміжні класи породжуються відповідно числами , тобто вони мають вигляд:

, .

В кожному класі , , зібрані числа, які при діленні на дають остачу .

Означення. Потужність множини всіх лівих суміжних класів групи за підгрупою називається (лівим) індексом підгрупи в і позначається .

Приклади.

1. Індекс тривіальної підгрупи збігається з порядком групи : .

2. Індекс підгрупи групи цілих чисел дорівнює .