2. Основні алгебраїчні структури з однією операцією

2.1 Півгрупи і моноїди

Означення. Множина із заданою на ній бінарною асоціативною операцією називається півгрупою. Півгрупу з одиничним (нейтральним) елементом прийнято називати моноїдом або півгрупою з одиницею.

Приклади.

1. Нехай – довільна множина, – множина всіх відображень в себе. Тоді – моноїд, де – природна композиція відображень, а – тотожне відображення. |

2. Нехай – довільна множина, – булеан множини . На множині визначені дві природні асоціативні операції і . Отже, маємо два комутативні моноїди і .

3. Нехай – множина квадратних матриць з дійсними коефіцієнтами. Відносно операції додавання матриць множина утворює комутативний моноїд , а відносно операції множення матриць – некомутативний моноїд .

4. Нехай – множина цілих чисел, що діляться на . Тоді – комутативний моноїд, а – комутативна півгрупа без одиниці ().

Елемент моноїда називається оборотним, якщо існує елемент , для якого (зрозуміло, що елемент також буде оборотним). Якщо ще й , то . Це дає підставу говорити просто про обернений елемент до (оборотного) елемента : . Ясно, що .

2.2 Групи. Приклади груп

Нехай – непорожня множина, на якій визначена бінарна алгебраїчна операція .

Означення. Непорожня множина , на якій визначена бінарна алгебраїчна операція , називається групою, якщо виконуються наступні умови (аксіоми групи):

1. операція асоціативна: ;

2. в множині існує нейтральний елемент ; ;

3. для кожного елемента існує симетричний елемент : .

Позначається або просто .

Якщо

4. операція комутативна:

то група називається комутативною або абелевою. (на честь норвезького математика Нільса Хенріка Абеля (1802–1829)), який вивчав комутативні групи).

Сам термін „група” належить французькому математику Еварісту Галуа (1811–1832) – справжньому творцю теорії груп.

Означення групи можна сформулювати ще й так:

Групою називається півгрупа з одиницею, в якій для кожного елемента існує симетричний.

Група називається скінченною, якщо множина її елементів скінченна; група називається нескінченною, якщо множина її елементів нескінченна.

Число елементів групи називають її порядком. Для позначення числа елементів в групі (точніше, потужності групи) використовуються символи , і .

Якщо задану на групі операцію називають множенням, то використовують мультиплікативну форму запису, саму групу при цьому називають мультиплікативною або групою по множенню. Якщо ж задану на групі операцію називають додаванням, то використовують адитивну форму запису, саму групу при цьому називають адитивною або групою по додаванню.

Приклади.

1. – абелева група цілих чисел по додаванню, нейтральний елемент 0, оберненим до елемента є . Вона називається адитивною групою цілих чисел.

2. , – абелеві групи по додаванню. Вони називаються відповідно адитивною групою раціональних чисел і адитивною групою дійсних чисел.

3. – абелева група раціональних чисел по множенню, нейтральний елемент 1, оберненим до елемента є . Вона називається мультиплікативною групою раціональних чисел. Множина також абелева група по множенню.

4. Множина – абелева група по множенню.

5. Множина – абелева група по додаванню.

6. Множина невироджених матриць з дійсними коефіцієнтами порядку відносно операції множення матриць є некомутативною групою. Вона називається повною лінійною групою і позначається . Так само визначається повна лінійна група .

7. Покладемо в прикладі 6 . Тоді ми приходимо до мультиплікативних груп і дійсних і раціональних чисел. Ці групи, очевидно, нескінченні.

8. Нехай – довільна множина, – множина всіх бієктивних (взаємно однозначних) відображень (перетворень множини ). Множина відносно операції композиції відображень утворює групу. Група дуже важлива у застосуваннях.