1.4 Елементи, виділені відносно бінарної операції

Означення. Якщо існує елемент такий, що , то він називається ідемпотентним по відношенню до операції , або просто ідемпотентом.

Означення. Якщо існує елемент такий, що

то він називається нейтральним відносно операції , або одиничним.

Приклади.

1. В множині 0 – нейтральний елемент відносно додавання +:

, а 1 – відносно множення :

2. В множині всіх квадратних матриць -го порядку нульова матриця є нейтральним елементом відносно додавання матриць, а одинична матриця – відносно множення матриць.

3. В множині всіх підмножин деякого універсуму – нейтральний елемент відносно об’єднання: , а – нейтральний елемент відносно перерізу: .

Теорема (про єдиність нейтрального елемента). Якщо відносно операції існує нейтральний елемент, то він єдиний.

Означення. Елемент називається симетричним елементу відносно операції , якщо

,

де – нейтральний відносно операції елемент.

Приклади.

1. Нейтральний елемент , очевидно, симетричний сам собі.

2. В множині відносно додавання симетричним елементу є елемент , який називається протилежним до . Відносно множення симетричним елементу є елемент , який називається оберненим до .

3. В множині всіх квадратних матриць -го порядку відносно операції множення матриць симетричними є взаємно обернені матриці.

Теорема (про єдиність симетричного елемента). Якщо бінарна операція , визначена на множині , асоціативна, то для будь-якого елемента в ньому може існувати не більше одного симетричного елемента.

Доведення. Припустимо, що і – два різних симетричних елементу елемента, так що

,

.

Тоді .

Одержана суперечність доводить теорему.□

Приклад. Визначити елементи, виділені відносно операції у множині з прикладу 1.

Розв'язання. Щоб визначити нейтральний елемент, знайдемо стовпець таблиці Келі, що цілком збігається з початковим. В таблиці для операції такий стовпець є, і йому відповідає елемент 1. Отже, елемент 1 є нейтральним відносно операції .

Щоб визначити існування симетричного елемента для даного, рухаємося по рядку, який відповідає даному елементу, до нейтрального елемента. Зверху, у початковому рядку, напроти нейтрального елемента знаходиться шуканий симетричний.

Для елемента 2 не існує симетричного, оскільки 20=22=0 і 21=23=2.

1.5 Поняття алгебраїчної структури

На множині може бути задано, взагалі кажучи, багато різних операцій. Бажаючи виділити одну з них, використовують дужки: і говорять, що операція визначає на алгебраїчну структуру або що – алгебраїчна система. Якщо операція асоціативна чи комутативна, то такі ж назви привласнюються і відповідній алгебраїчній структурі.

Приклад. У множині цілих чисел, крім природних операцій +, • (додавання і множення), легко вказати "похідні" операції що виходять при допомозі + (або –) і : , і т.д. Ми приходимо до різних алгебраїчних структур , .

Відзначимо, що криптографічні алгоритми, які діють на скінчених множинах повідомлень, не можуть бути зведені до звичайних операцій над числами, як правило, вони працюють на множинах, наділених певною алгебраїчною структурою.

У напрямі конструювання різних бінарних операцій на множині також, очевидно, відкривається необмежений простір фантазії. Але задача вивчення довільних структур алгебри є дуже загальною, щоб вона являла реальну цінність. З цієї причини її розглядають при різних природних обмеженнях. В процесі розвитку математики була виділена і детально досліджена невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення. У зв’язку з цим при вивченні алгебраїчних структур застосовуються дві системи термінів або дві форми запису: адитивну і мультиплікативну. Нижче наводиться словник цих термінологій:

	Адитивна термінологія	Мультиплікативна термінологія
Операція	+ – додавання	– множення
Результат операції	сума	добуток
Нейтральний елемент	нуль 0	одиниця 1або е
Симетричний елемент	протилежний	обернений або
Обернена операція	віднімання	ділення
Результат оберненої операції	різниця	частка
Степінь елемента	кратне	степінь