1.2 Властивості бінарних алгебраїчних операцій

1. Означення. Операція називається комутативною, якщо

.

Приклади.

1. Додавання і множення чисел комутативні.

2. Віднімання і ділення чисел некомутативні.

3. Множення матриць некомутативне.

4. Операції перерізу і об’єднання множин комутативні.

5. Операція декартового добутку двох множин некомутативна.

6. Операції кон’юнкції і диз’юнкції висловлень комутативні.

Значення комутативності бінарної алгебраїчної операції полягає в тому, що вона дає можливість переставляти елементи, над якими виконується бінарна операція, і завдяки цьому спрощувати формули і твердження.

Таблиця Келі комутативної бінарної алгебраїчної операції симетрична відносно діагоналі.

Приклад. Операція у множині з прикладу 1 є комутативною, оскільки її таблиця Келі симетрична відносно діагоналі.

2. Означення. Операція називається асоціативною, якщо

:.

Властивість асоціативності дозволяє опускати дужки у виразі .

Приклади.

1. Додавання і множення чисел асоціативні. Це дозволяє не ставити дужки у виразах і .

2. Віднімання чисел неасоціативне. (Наприклад, )

3. Операції перерізу і об’єднання множин асоціативні.

4. Операції кон’юнкції і диз’юнкції висловлень асоціативні.

Значення асоціативності бінарної алгебраїчної операції полягає в тому, що вона дає можливість визначити композицію трьох і взагалі будь-якого числа елементів, взятих у певному порядку.

3. Означення. Операція називається дистрибутивною зліва відносно операції , якщо

і дистрибутивною справа відносно операції , якщо

.

Властивість дистрибутивності дозволяє розкривати дужки.

Приклади.

1. Множення чисел дистрибутивне відносно додавання і зліва і справа:

і

2. Додавання недистрибутивне і зліва і справа відносно множення:

та .

3. Операції перерізу і об’єднання множин є взаємно дистрибутивними одна відносно одної.

4. Операції кон’юнкції і диз’юнкції є взаємно дистрибутивними одна відносно одної.

Далі будемо припускати, що всі бінарні операції, які будуть розглядатися асоціативні. В цьому випадку неважко визначити степінь елемента множини у такий спосіб: визначаємо , при покладаємо: . Тоді для будь-яких додатних цілих чисел виконуються співвідношення:

і .

Разом з бінарними алгебраїчними операціями не позбавлені інтересу більш загальні -арні операції, так само як і їх комбінації.

Означення. -арною алгебраїчною операцією на множині називається відображення . Число називається арністю операції .

– арна алгебраїчна операція за елементами множини визначає ()-й елемент цієї ж множини. При будемо мати відповідно унарну, бінарну, тернарну і т.д. алгебраїчні операції.

Приклади.

1. Перехід до протилежного числа є унарною операцією.

2. Піднесення числа до квадрату є унарною операцією.

3. Знаходження абсолютної величини числа є унарною операцією.

4. Операція доповнення множини є унарною.

1.3 Обернені бінарні операції

Нехай на множині визначена бінарна алгебраїчна операція .

Означення. Якщо для будь-яких двох елементів і множини існує в множині одна і тільки одна пара елементів і таких, що і , то кажуть, що для визначеної на множині бінарної алгебраїчної операції виконується обернена операція, яку позначають .

Ясно, що якщо операція комутативна, то елементи і , про які йдеться в означенні, збігаються.

Приклади.

1. Операцію, обернену до комутативної операції додавання (множення) чисел називають відніманням (діленням). Елемент , який задовольняє умовам і ( і ), називають різницею (часткою) і записують ( або ).

Існують множини, в яких операції додавання і множення визначені, а обернені їм операції віднімання і ділення не виконуються. Такою множиною є, наприклад, множина натуральних чисел. Існують також множини, наприклад, множина цілих чисел, в яких визначена операція додавання і виконується обернена їй операція – віднімання, а також множини, як, наприклад, множина відмінних від нуля раціональних чисел, в визначена операція множення і виконується обернена їй операція – ділення.

Обернена операція , очевидно, не є новою незалежною операцією, вона – похідна від операції .