4. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур.

Означення. Нехай – алгебраїчна операція, задана на множині , – алгебраїчна операція, задана на множині , – відображення множини в множину . Кажуть, що відображення зберігає алгебраїчну операцію , якщо для будь-яких елементів справедливо

.

Зміст цієї умови полягає в тому, що не має значення, чи здійснено спочатку операцію в , а потім виконане відображення , або спочатку виконане відображення , а потім здійснено операцію в .

Означення. Дві алгебраїчні структури і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , яке зберігає алгебраїчні операції. Відповідне відображення називається гомоморфізмом.

Означення. Дві алгебраїчні структури і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , яке зберігає алгебраїчні операції. Відповідне відображення називається ізоморфізмом.

Факт ізоморфізму алгебраїчних структур позначається символічно .

Означення. Дві групи і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:

.

Означення. Дві групи і називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , при якому зберігається групова операція, тобто таке, що:

1) ;

2) – бієкція.

Означення. Два кільця і називаються гомоморфними, якщо існує відображення , при якому зберігаються операції, тобто таке, що:

1) ;

2) ;

3)

,

.

Означення. Два кільця і називаються ізоморфними, якщо існує гомоморфне взаємно однозначне відображення.

Означення. Два поля і називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.